Sejam sigma: Ω ⊂ R^2 → R^3 e φ: Ω_1 ⊂ R^2 → R^3 duas superfícies regulares nos abertos omega e Omega_1 , respectivamente. Suponha que exista uma transformação H: Omega_1 -> Omega , com H(Omega_1) = Omega , dada por

H : u = u s , t v = v s , t       s , t ∈ Ω 1

sendo H de classe C^1 , inversível e tal que, para todo (s, t) ∈ Ω_1 ,

φ(s, t) = σ(u(s, t), v(s, t))

Diremos, então, que phi é obtida de sigma pela mudança de parâmentros (u, v) = H(s, t) . Suponha, então, que phi seja obtida de sigma pela mudança de parâmentros (u, v) = H(s, t) = (u(s, t), v(s, t)) .

  1. Verifique que Im fi = Im sigma
  2. Prove que
  3. (∂φ/∂s) ∧ (∂φ/∂t) = (∂σ/∂u) ∧ (∂σ/∂v) * (∂(u, v)/∂(s, t))

    Onde

    ∂ u , v ∂ s , t = ∂ u ∂ s ∂ u ∂ t ∂ u ∂ s ∂ u ∂ t

    é o determinante jacobiano de transformação u = u(s, t), v = v(s, t) .

  4. Interprete geometricamente a relação (item (b)) supondo ∂(u, v) / ∂(s, t) > 0 .

Passo 1

Antes de falar alguma coisa, vamos resolver hahaha. Assim segue que

  1. Tome que I m   φ =   I m   Ω = R 3 = I m   Ω 1 = I m   σ
  2. Passo 2

  3. Vamos começar o item b tomando que
  4. ∂ φ ∂ s ∧ ∂ φ ∂ t = ∂ σ ∂ s ∧ ∂ σ ∂ t

    Agora vamos utilizar a regra da cadeia, na qual

    ∂ σ ∂ s = ∂ σ ∂ u d u d s + ∂ σ ∂ v d v d s

    e

    ∂ σ ∂ t = ∂ σ ∂ u d u d t + ∂ σ ∂ v d v d t

    Agora tome que

    ∂ σ ∂ u d u d s + ∂ σ ∂ v d v d s ∧ ∂ σ ∂ u d u d t + ∂ σ ∂ v d v d t

    Que por propriedade de produto vetorial, nos da

    d u d s d u d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ u + d u d s d v d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v + d v d s d u d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ u + d v d s d v d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ v

    Agora lembrando que, v → ∧ v → = 0 , então quando tivemos vetores iguais o valor é nulo. Desta forma ficamos com

    d u d s d v d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v + d v d s d u d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ u

    E se já usamos duas propriedades, por que não a terceira?

    Tome agora que v → ∧ u → = - u → ∧ v →  

    Logo

    d u d s d v d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v + d v d s d u d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ u = d u d s d v d t ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v - d v d s d u d t ∂ σ ∂ v   ∧ ∂ σ ∂ u

    E agora colocando o produto vetorial em evidência

    ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v d u d s d v d t - d v d s d u d t = ∂ σ ∂ u   ∧ ∂ σ ∂ v ∂ u , v ∂ s , t

    Passo 3

  5. O valor ∂ u , v ∂ s , t ele é uma correção geométrica da transformação do espaço. Quando saímos de um espaço φ por uma transformação para um espaço σ , ele vem para corrigir nossa superfície.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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