f(x, y) = x^2y + e^(xy) \* sen(y), P_0(1, 0)

Passo 1

Oi Oi pessoal!

Para encontrar as direções que a função aumenta ou diminui e suas taxas de aumento ou decrescimento, precisamos calcular o gradiente de f. Começaremos calculando a derivada de f no ponto P 0 , após isso iremos encontrar o versor do gradiente de f. E, por fim, a taxa de crescimento ou decrescimento.

Simbora!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:

f x = ∂ f ∂ x = ∂   x 2 y + e x y sen ⁡ y ∂ x = ∂ x 2 y ∂ x + ∂ [ e x y sen ⁡ y ] ∂ x  

f x = 2 x y + y e x y sen ⁡ y

f y = ∂ f ∂ y = ∂   x 2 y + e x y sen ⁡ y ∂ y = ∂ x 2 y ∂ y + ∂ [ e x y sen ⁡ y ] ∂ y  

Aplicando a regra da derivada do produto no 2º termo:

f y = x 2 +   x e x y sen ⁡ y + e x y cos ⁡ y

Passo 3

Agora, aplicando no ponto P 0 ( 1 , 0 ) :

f x ( 1,0 ) = 2 x y + y e x y sen ⁡ y = 2 ∙ 1 ∙ 0 + 0 ∙ e 1 ∙ 0 ∙ sen ⁡ 0 = 0

f y ( 1,0 ) = x 2 +   x e x y sen ⁡ y + e x y cos ⁡ y = 1 2 + 1 ∙ e 1 ∙ 0 sen ⁡ 0 + e 1 ∙ 0 cos ⁡ 0 = 1 + 0 + 1 = 2

Então, o gradiente é:

∇ f ​ ( 1,0 ) = f x + f y =   2 j

Passo 4

Ok, pessoal! Agora vamos calcular o versor de ∇ f

∇ f =   2 2 =   2

Então, o versor de ∇ f que vamos chamar de w é:

w = ∇ f ∇ f = 2 2 j = 1 j

De acordo com a teoria do livro, f cresce mais rapidamente na direção e sentido de ∇ f e decresce mais rapidamente na direção e sentido de - ∇ f . Ou seja, na direção de w dado um ponto P 0 a função aumenta rapidamente e na direção de - w . Onde:

- w = -   j

Passo 5

Portanto, as derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de aumento e decrescimento são:

∇ f =   2 2 =   2

- ∇ f =   - 2

Resposta

R e s p o s t a   n o s   p a s s o s

Exercícios de Livros Relacionados