f(x, y) = x^2 + xy + y^2, P_0(-1,1)

Passo 1

Galerinha, tudo beleza?

Para encontrar as direções que a função aumenta ou diminui e suas taxas de aumento ou decrescimento, precisamos calcular o gradiente de f. Começaremos calculando a derivada de f no ponto P 0 , após isso iremos encontrar o versor do gradiente de f. E, por fim, a taxa de crescimento ou decrescimento.

Vamos lá!

Passo 2

Calculando as derivadas parciais:

f x = ∂ f ∂ x = ∂   x 2 + x y + y 2 ∂ x = ∂ x 2 ∂ x + ∂ [ x y ] ∂ x + ∂ [ y 2 ] ∂ x  

f x = 2 x + y

f y = ∂ f ∂ y = ∂   x 2 + x y + y 2 ∂ y = ∂ x 2 ∂ y + ∂ [ x y ] ∂ y + ∂ [ y 2 ] ∂ y

f y = x + 2 y

Passo 3

Agora, aplicando no ponto P 0 ( - 1,1 ) :

f x ( - 1,1 ) = 2 x + y = 2 ∙ - 1 + 1 = - 1

f y ( - 1,1 ) = x + 2 y = - 1 + 2 ∙ 1 = 1

Então, o gradiente é:

∇ f ​ ( - 1,1 ) = f x + f y =   - 1 i + 1 j

Passo 4

Ok, pessoal! Agora vamos calcular o versor de ∇ f

∇ f =   ( - 1 ) 2 + 1 2 =   2

Então, o versor de ∇ f que vamos chamar de w é:

w = ∇ f ∇ f = - 1 2 i + 1 2 j

De acordo com a teoria do livro, f cresce mais rapidamente na direção e sentido de ∇ f e decresce mais rapidamente na direção e sentido de - ∇ f . Ou seja, na direção de w dado um ponto P 0 a função aumenta rapidamente e na direção de - w . Onde:

- w = -   - 1 2 i + 1 2 j = 1 2 i - 1 2 j

Passo 5

As derivadas das funções nessas direções, ou melhor, a taxa de aumento e decrescimento são:

∇ f =   ( - 1 ) 2 + 1 2 =   2

- ∇ f =   - 1 2 + 1 2 =   - 2

Resposta

R e s p o s t a   n o s   p a s s o s

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