Enunciado

50. Será a função

f (x) = {[[(s e n x)/(|x|) , x != 0],[1 , x = 0]])

contínua em x = 0 ? Explique.

Passo 1

Vamos começar lembrando qual condição devemos usar para essa função ser contínua.

Como se trata de uma função bipartida, devemos ter o seguinte:

underset(x -> a)(lim) f (x) = f ( a )

Então, borá lá galera.

Passo 2

Calculando o limite quando x -> 0 , teremos o seguinte

underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(|x|)

Mas espera aí só um minutinho..... Olha aquele módulo ali !!! O que a gente faz com ele ??? É só a gente lembrar como o módulo está definido:

f (x) = |x|

f (x) = {[[x , x >= 0],[- x , x < 0]])

Com base nisso, o que a gente vai ter que fazer é calcular os limites laterais. Ou seja,

underset(x -> 0^+)(lim) (s e n x)/(x)

underset(x -> 0^-)(lim) (s e n x)/(- x)

Note que, no primeiro caso, o x fica positivo, pois estamos nos aproximando por valores maiores do que zero. Já no segundo caso, estamos nos aproximando por valores menores do que zero. Assim, de acordo com a definição dada acima, devemos colocar um sinal de menos próximo ao x.

Assim, temos que

underset(x -> 0^+)(lim) (s e n x)/(x) = 1

underset(x -> 0^-)(lim) (s e n x)/(- x) = - underset(x -> 0^-)(lim) (s e n x)/(x) = - 1

Como os limites laterais deram valores diferentes, sabemos que underset(x -> 0)(lim) (s e n x)/(|x|)

não existe. Portanto, a função não é contínua em x = 0 .

Resposta

A função não é contínua em x=0.

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