50. Será a função

f x = s e n x x ,                 x ≠ 0 1 ,                         x = 0

contínua em x = 0 ? Explique.

Passo 1

Vamos começar lembrando qual condição devemos usar para essa função ser contínua.

Como se trata de uma função bipartida, devemos ter o seguinte:

lim x → a ⁡ f x = f ( a )

Então, borá lá galera.

Passo 2

Calculando o limite quando x → 0 , teremos o seguinte

lim x → 0 ⁡ s e n x x

Mas espera aí só um minutinho..... Olha aquele módulo ali !!! O que a gente faz com ele ??? É só a gente lembrar como o módulo está definido:

f x = x

f x = x ,         x ≥ 0     - x ,         x < 0

Com base nisso, o que a gente vai ter que fazer é calcular os limites laterais. Ou seja,

lim x → 0 + ⁡ s e n x x

lim x → 0 - ⁡ s e n x - x

Note que, no primeiro caso, o x fica positivo, pois estamos nos aproximando por valores maiores do que zero. Já no segundo caso, estamos nos aproximando por valores menores do que zero. Assim, de acordo com a definição dada acima, devemos colocar um sinal de menos próximo ao x.

Assim, temos que

lim x → 0 + ⁡ s e n x x = 1

lim x → 0 - ⁡ s e n x - x = - lim x → 0 - ⁡ s e n x x = - 1

Como os limites laterais deram valores diferentes, sabemos que lim x → 0 ⁡ s e n x x

não existe. Portanto, a função não é contínua em x = 0 .

Resposta

A função não é contínua em x=0.

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