Enunciado

  1. Será c o s   3 x igual a x para algum x ? Justifique sua resposta.
  2. Use o método de Newton para determinar onde isso ocorre.

Passo 1

Queremos saber se existe algum valor de x tal que cos ⁡ 3 x = x → cos ⁡ 3 x - x = 0 . Usaremos o método de Newton que nos diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Para obtermos aproximações para as raízes da equação dada, caso ela exista.

Passo 2

Plotando o gráfico de f x = cos ⁡ 3 x - x obtemos

E podemos observar a presença de 3 raízes indicadas pelas setas.

Passo 3

Para utilizarmos o método de Newton, precisaremos derivar nossa função. Assim,

f ' x = - 3 s e n 3 x - 1

Dessa forma, nossa fórmula do método de Newton ficará

x n + 1 = x n - cos ⁡ 3 x n - x n - 3 s e n 3 x n - 1

Como buscamos encontrar 3 raízes, necessitaremos de 3 valores iniciais, observando o gráfico acima vemos que as raízes se encontram próximas a - 1.2 ,   - 1 ,   0.5 e, então, tomaremos esses valores como valores iniciais e substituiremos na fórmula acima para encontrarmos as aproximações.

Resposta

As aproximações das raízes de cos ⁡ 3 x = x são - 0.979367 ,   - 9.887726   e   0.39004 .

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