Enunciado

(a) Ache a equação polar da hipérbole para a qual e = 3 e que tem a reta r sin ⁡ θ = 3 como a diretriz correspondente ao foco na origem. (b) Ache as equações polares das duas retas que passam pela origem e são paralelas às assíntotas da hipérbole.

Passo 1

(a)

Perceba que a equação da reta diretriz indica o eixo principal da cônica, o qual, no caso, é o eixo vertical. Além disso, como a diretriz está acima do foco, a equação será da forma:

r = e d 1 + e sin ⁡ θ

Passo 2

Olhando para θ = π 2 na equação da diretriz, podemos encontrar d :

d = 2 r sin ⁡ 0 = 2 ( 3 )

d = 6

Passo 3

Ou seja, a equação da cônica será:

r = 18 1 + 3 sin ⁡ θ

Passo 4

(b)

Para encontrar a equação de paralelas às assíntotas da hipérbole, basta definir o coeficiente angular dessas assíntotas (condição de paralelismo). Nas assíntotas:

r → ∞

O que ocorre quando

1 + 3 sin ⁡ θ → 0

1 + 3 sin ⁡ θ = 0

sin ⁡ θ = - 1 3

θ = asin ⁡ - 1 3 ou θ = asin ⁡ - 1 3 - π 2

Passo 5

Como as retas em questão passam pela origem, as retas são da forma:

y = a x

Onde a = tan ⁡ θ .

Logo, as equações são:

y = 2 4 x e y = - 2 4 x

Resposta

As equações das retas que passam pela origem e são paralelas às assíntotas da hipérbole do problema são:

y = 2 4 x e y = - 2 4 x

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