Simplifique.

(1/x^2 - 1/p^2) / (x - p)

Passo 1

Vamos lá, para simplificar essa expressão vamos tentar manipular um pouco ela. Vamos começar resolvendo a subtração no numerador:

1 x 2 - 1 p 2 x - p = p 2 - x 2 p 2 x 2 x - p

Mas ainda não ta legal, essa fração no numerador. Vamos melhorar!

Passo 2

Vamos agora deixar em uma parcela só, com uma expressão só no numerador e outra no denominador, fazemos isso repetindo o numerador e multiplicando pelo inverso do denominador:

1 x 2 - 1 p 2 x - p = p 2 - x 2 p 2 x 2 x - p = p 2 - x 2 p 2 x 2 ∙ 1 x - p = p 2 - x 2 p 2 x 2 x - p

Repara que no numerador temos um subtração de quadrados, vamos tentar transformar em um produto de polinominios para tentar simplificar!

Passo 3

Agora vamos usar produto notável no numerador, dá pra ver que ele é da forma:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Vamos lá então:

p 2 - x 2 = p + x p - x

Substituindo ficamos com:

p 2 - x 2 p 2 x 2 x - p = p + x p - x p 2 x 2 x - p

Opa! Repara que o termo entre parenteses do numerador é parecido com o termo entre parenteses do denominador. Vamos tentar cortar?!

Passo 4

Pronto, está quase lá, podemos reparar que quase temos uma parcela no numerador p - x igual ao do denominador x - p , apenas está com sinal invertido, vamos então multiplicar e dividir a expressão por - 1 .

p + x p - x p 2 x 2 x - p = p + x p - x p 2 x 2 x - p ∙ - 1 - 1

Vamos deixar o numerador em função de - 1 , mas vamos multiplicar no denominador (repara que os sinais dentro do parenteses vão inverter):

p + x p - x p 2 x 2 x - p = p + x p - x - 1 p 2 x 2 p - x = - p + x p 2 x 2

Pronto, está simplificado!

Resposta

1 x 2 - 1 p 2 x - p = - p + x p 2 x 2

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