Enunciado

No sistema de navegação LORAN (LOng Range Navigation), duas estações de rádio localizadas em A e B transmitem simultaneamente sinais para um barco ou avião localizado em P . O computador de bordo converte a diferença de tempo na recepção desses sinais em diferença de distância P A - | P B | e isso, de acordo com a definição de uma hipérbole, localiza o navio ou o avião em um ramo da hipérbole (veja a figura). Suponha que a estação B esteja localizada 600 km a leste da estação A na costa. Um navio recebe o sinal B 1200 microssegundos ( μ s ) antes de receber o sinal de A .

  1. Assumindo que o sinal de rádio viaja a uma velocidade de 300   m / μ s , encontre uma equação da hipérbole na qual o navio está.
  2. Se o navio deveria estar ao norte de B , a que distância da costa ele estará?

Passo 1

  1. Queremos encontrar uma equação que descreva a hipérbole da figura, olhando para ela podemos perceber que é da forma x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1
  2. Vamos estabelecer um sistema cartesiano tal que a origem esteja no meio do caminho entre A e B , assim A = ( - 300,0 ) e B = ( 300,0 )

    Primeiro vamos calcular a distância P A - | P B | :

    P A - P B = v e l o c i d a d e   x   t e m p o

    O sinal de rádio viaja a uma velocidade de de 300   m / μ s , e um navio recebe o sinal após um tempo de 1200 μ s , então:

    P A - P B = 300   x   1200

    P A - P B = 360.000   m

    Agora precisamos pensar na definição de uma hipérbole, ela nos diz que P A - P B = 2 a

    2 a = 360000

    a = 180000 = 180   k m

    Usando que b 2 = c 2 - a 2 , e sabendo que B é um foco da hipérbole (suas coordenadas são ( c , 0 ) ) , podemos encontrar b :

    b 2 = c 2 - a 2

    b 2 = 300 2 - 180 2

    b 2 = 57600

    Assim, podemos substituir na equação geral da hipérbole:

    x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

    x 2 32400 - y 2 57600 = 1

    Passo 2

  3. Se o navio estiver ao norte de B , eles possuem a mesma coordenada de x , o que precisamos é descobrir qual sua coordenada y . Agora que já temos a equação da hipérbole, basta trocarmos x = 300 e isolarmos o y ,   assim:

300 2 32400 - y 2 57600 = 1

90000 32400 - y 2 57600 = 1

2,77 - 1 = y 2 57600

1 , 77 ( 57600 ) = y 2

y 2 = 102400

y = ± 320

Como o navio está ao norte de B , podemos desconsiderar a resposta negativa, e concluir que o barco estará a 320 km da costa.

Resposta

  1. x 2 32400 - y 2 57600 = 1
  2. 320 km
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