Enunciado

Um sólido no primeiro octante é delimitado pelos planos y = 0 e z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 e x = y 2 (veja a figura a seguir). Sua função de densidade é δ x , y , z = k x y , sendo k

constante.

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Pela figura dada já temos tudo que é necessário, veja:

x   ∈ 0,2

y 0 , 2

z ∈ 0,4 - x 2

E com isso vamos em busca de M ,   M x z ,   M x y ,   M y z para que com isso achemos os centros de massa, sabendo que:

X c e n t = M y z M

Y c e n t = M x z M

Z c e n t = M x y M

Como exemplo, para M x y :

M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x y z   d z   d y   d x

Passo 2

Para M:

M = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x y   d z   d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y z 0 4 - x 2 d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x 4 x y - x 3 y d y   d x

k ∫ 0 2 2 x y 2 0 x - x 3 2 y 2 0 x d x

k ∫ 0 2 ( 2 x 2 - x 4 2 )     d x

k 2 3 x 3 0 2 - 1 10 x 5 0 2

M = 32 k 15

Passo 3

Para M x y :

M x y = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x y z   d z   d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y 2 z 2 0 4 - x 2 d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y 2 4 - x 2 2   d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x ( x 4 - x 2 2 4 y 2 0 x )     d x

k ∫ 0 2 x 2 4 - x 2 2 4 d x

k 4 ∫ 0 2 x 2 16 + x 4 - 8 x 2   d x

k 4 16 3 x 3 0 2 + 1 7 x 7 0 2 - 8 5 x 5 0 2

M x y = 2 8 k 105

Para M x z :

M x z = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x y 2   d z   d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y 2 z 0 4 - x 2 d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x x y 2 4 - x 2   d y   d x

k ∫ 0 2 4 x 3 y 3 0 x - x 3 3 y 3 0 x d x

k 3 ∫ 0 2 4 x 2 x - x 4 x d x

k 3 ∫ 0 2 ( 4 x 5 2 - x 9 2 )   d x

k 3 4 2 7 u 7 2 0 2 - 2 11 u 11 2 0 2

M x z = k 2 8 2 231

Para M y z :

M y z = ∫ 0 2 ∫ 0 x ∫ 0 4 - x 2 k x 2 y   d z   d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x y x 2 z 0 4 - x 2 d z   d y   d x

k ∫ 0 2 ∫ 0 x y x 2 4 - x 2 d y   d x

k ∫ 0 2 2 x 2 y 2 0 x - x 4 y 2 0 x d x

k 2 ∫ 0 2 4 x 3 - x 5 d x  

k 2 ( x 4 0 2 - 1 6 x 6 0 2

k 2   2 4 - 2 5 3

k 2 2 4 3 - 2 3

M y z = k 2 3 3

E como já dito anteriormente:

x c e n t = M y z M

y c e n t = M x z M

z c e n t = M x y M

Logo

x c e n t = 2 3 k 3 2 5 k 15 = 5 2 2

y c e n t = k 2 8 2 231 2 5 k 15 = 2 3 15 231

E

z c e n t = k 2 8 105 2 5 k 15 = 2 3 7  

Resposta

M = 32 k 15

x c e n t = 5 2 2

y c e n t = 2 3 15 231

z c e n t = 2 3 7  

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