Enunciado

Supondo que a função diferenciável y = f ( x ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar sua derivada d y d x .

a) 9 x 2 + 4 y 2 = 36

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que y = f ( x ) é definida pela equação F x , y = 0 . Assim,

F x , y = 9 x 2 + 4 y 2 - 36

A derivada da função F é dada por:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ z = 0

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y

As derivadas parciais de F são:

∂ F ∂ x = 18 x

∂ F ∂ y = 8 y

Passo 2

Por fim, calculando a derivada d y d x :

d y d x = - 18 x 8 y

d y d x = - 9 x 4 y

Resposta

A derivada é igual a:

d y d x = - 9 x 4 y

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A imagem da curva γ t = 2 t , t 2 , z t está contida no gráfico de z = f x , y . Sabe-se que f 2,1 = 3 , ∂ f ∂ x 2,1 = 1e ∂ f ∂ y 2,1 = - 1 . Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 )
Admita que, para todo (x,y), 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 0 . Prove que f é constante sobre a elipse x 2 4 + y 2 = 1 . (Sugestão. Observe que a função g do exercício anterior fornece os valor
14. Seja z = t 2 f ( x , y ) , onde x = t 2 e y = t 3 . Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f .
18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
19. f ( t ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que g t ,f t = 0 , para todo t . Suponha f 0 = 1 , ∂ g ∂ x 0,1 = 2 e ∂ g ∂ y 0,1 = 4 . Determine a equação da reta tangente a γ t = t ,f t , n