Enunciado

Supondo que as funções diferenciáveis y = f ( x ) e z = z x ,   z > 0 , sejam definidas implicitamente pelo sistema dado, determinar as derivadas d y d x e d z d x .

b) 2 x 2 - y 2 = z 2 x + y = 2

Passo 1

Bom, pessoal, sabemos que y = f ( x ) e z = z ( x ) são definidas pelas equações F x , y , z = 0 e G x , y , z = 0 . Assim,

F x , y , z = 0 G x , y , z = 0

Então, podemos reescrever a nossa equação como:

F x , y , z = 2 x 2 - y 2 - z 2 G x , y , z = x + y - 2

Para obtermos as derivadas d y d x e d z d x vamos derivar F e G em relação a x . Usando a regra da cadeia, temos:

∂ F ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ F ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ F ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = 0 ∂ G ∂ x ⋅ ∂ x ∂ x + ∂ G ∂ y ⋅ ∂ y ∂ x + ∂ G ∂ z ⋅ ∂ z ∂ x = 0

∂ F ∂ y ⋅ d y d x + ∂ F ∂ z ⋅ d z d x = - ∂ F ∂ x ∂ G ∂ y ⋅ d y d x + ∂ G ∂ z ⋅ d z d x = - ∂ G ∂ x

O sistema de equações lineares para as incógnitas d y d x e d z d x . Assim, nos pontos em que o detemrinante do sistema é diferente de zero, ele tem solução única. Sua solução pode ser obtida pela regra de Cramer!

d y d x = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z - ∂ G ∂ x ∂ G ∂ z ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z = - ∂ F ∂ x ∂ F ∂ z ∂ G ∂ x ∂ G ∂ z ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z

d z d x = ∂ F ∂ y - ∂ F ∂ x ∂ G ∂ y - ∂ G ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z = - ∂ F ∂ y ∂ F ∂ x ∂ G ∂ y ∂ G ∂ x ∂ F ∂ y ∂ F ∂ z ∂ G ∂ y ∂ G ∂ z

Desse modo, as derivadas parciais de F e G são:

∂ F ∂ x = 4 x

∂ F ∂ y = - 2 y

∂ F ∂ z = - 2 z

∂ G ∂ x = 1

∂ G ∂ y = 1

∂ G ∂ z = 0

Passo 2

Assim, calculando a derivada d y d x :

d y d x = - 4 x - 2 z 1 0 - 2 y - 2 z 1 0 = - 2 z 2 z = - 1

Passo 3

Por fim, calculando a derivada d z d x :

d z d x = - - 2 y 4 x 1 1 - 2 y - 2 z 1 0 = - - 2 y - 4 x 2 z = y + 2 x z

Resposta

As derivadas são iguais a:

d y d x = - 1

d z d x = y + 2 x z

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →