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Suponha E ,   R   e   L constantes não nulas. Determine a solução i = i t do problema.

L d i d t + R i = E i 0 = 0

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d i d t = i g t + f t

Teremos esse resultado:

i = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Precisamos deixar nesse formato então:

L d i d t + R i = E

L d i d t = E - R i

d i d t = E L - R i L

Passo 2

Agora precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com i e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ - R L d t = e R L t

Assim fazemos:

d i d t - i g t = f t

d i d t - i g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d i d t - i g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d i e - ∫ g t d t d t = d i d t - i g t e - ∫ g t d t

Assim:

d i e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d i e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

i e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

i e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Por fim:

i = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Passo 3

Para o nosso caso teremos:

i = k e - R L t + e - R L t ∫ E L e R L t d t = k e - R L t + E L × L R e - R L t e R L t = k e - R L t + E R

Agora precisamos achar o valor de k , para isso vamos usar a informação dada que i 0 = 0 :

i 0 = k e - R L 0 + E R = k e 0 + E R → k = - E R

Substituindo:

i t = - E R e - R L t + E R = E R 1 - e - R L t

Resposta

i t = E R 1 - e - R L t

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