Enunciado

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ - a a ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 d y   d x

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

y = - a 2 - x 2

y = a 2 - x 2

Se igualarmos as duas equações veremos que x=a

Sendo [ - a , a ] os limites de integração da segunda integral.

Vejamos o esboço dessas funções:

Onde o raio não é necessariamente 4, se tomarmos a=4, será 4, assim como se tomarmos a=5, será 5, ou seja, r = a

E também podem ver o ângulo θ percorre todo o trajeto livremente, logo θ ∈ [ 0.2 π ]

Passo 3

Assim:

∫ - a a ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 d y   d x = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r   d r   d θ

  ∫ 0 2 π 1 2 r 2 0 a d θ

∫ 0 2 π a 2 2 d θ

a 2 2 θ 0 2 π

a 2 π

Resposta

∫ - a a ∫ - a 2 - x 2 a 2 - x 2 d y   d x = ∫ 0 2 π ∫ 0 a r   d r   d θ

E o valor da integral é:

a 2 π

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