Enunciado

Nos Exercícios 9-22, substitua a integral cartesiana por uma integral equivalente. Em seguida, calcule a integral polar.

∫ 0 2 ∫ 0 4 - y 2 x 2 + y 2 d x   d y

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Das coordenadas polares temos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

x 2 + y 2 = r 2

E em caso de dúvidas, vejamos a figura para que possamos entender melhor.

E em se tratando de integrais, quando transformamos uma integral para coordenadas polares, temos que adicionar o jacobiano das coordenadas polares, que no caso é r .

Passo 2

Não sei se lembra, meu/minha amigo[a], mas no capítulo anterior aprendemos a fazer o gráfico de uma função polar dado sua integral.

Em resumo, a primeira integral é a função geradora do gráfico, a segunda corresponde os pontos as funções se interceptam.

Neste caso temos as funções:

x = 0

x = 4 - y 2

Igualando ambas, temos os pontos de integração, veja:

4 - y 2 = 0

y 2 = 4

y = ± 2

Tomando y ≥ 0

y ∈ [ 0,2 ]

E assim, olhando a figura:

Vemos que o raio é dois, e θ ∈ [ 0 , π 2 ]

E temos que:

x 2 + y 2 = r 2

Passo 3

Assim:

∫ 0 2 ∫ 0 4 - y 2 x 2 + y 2 d x   d y = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 2 r   d r   d θ  

∫ 0 π 2 1 4 r 4 0 2 d θ

∫ 0 π 2 4 d θ

4 θ 0 π 2

2 π

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 4 - y 2 x 2 + y 2 d x   d y = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 r 2 r   d r   d θ  

E o valor da integral é:

2 π

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