Enunciado

Mostre que para toda função linear f, a taxa média de variação de f(x) quando x varia de x1 até x1+k é a mesma que a taxa de variação instantânea f(x) em x1.

Passo 1

De forma fácil de entender, o enunciado quer que mostremos que a seguinte igualdade é verdadeira para funções lineares:

f x 1 + Δ x - f x 1 Δ x = f ' ( x )

A taxa de variação média é igual a variação instantânea.

Nada nos impede de definir uma função linear qualquer mais simples possível, da forma:

f x = a x + b

Sendo “a” e “b” constantes.

Passo 2

Considerando x variando de x1 até x1+k temos:

Δ x = x 1 + k - x 1 = k

Passo 3

Então nossa fórmula de variação média fica da seguinte maneira:

f x 1 + k - f x 1 k

Usando f x = a x + b :

f x 1 + k - f x 1 k = a x 1 + k + b - a x 1 - b k

                                = a x 1 + a k - a x 1 k

= a k k = a

Passo 4

Agora vamos calcular f’(x):

f x = a x + b

f ' x = a

Passo 5

Comparando as duas fórmulas que tínhamos antes:

f x 1 + k - f x 1 k = a

f ' x = a

Logo:

f x 1 + k - f x 1 k = f ' x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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