Enunciado

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

2 y 2 x - 3 d x + 2 y x 2 + 4 d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, para que uma equação seja exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso na nossa então. Lembrando que M é a parte que acompanha o d x e N o que acompanha o d y .

Passo 2

Na nossa temos:

∂ M ∂ y = 4 y x

∂ N ∂ x = 4 y x

A equação então é exata! Vamos resolver...

Passo 3

Seguindo o esquema de resolver equações exatas, a primeira coisa que a gente faz é integrar M ( x , y ) em relação a x . Então bora!

∫ 2 y 2 x - 3   d x

x 2 y 2 - 3 x + g y               ( * )

(Não pode esquecer de somar essa função de y aí hein!)

Beleza, agora a gente vai derivar isso em relação a y :

2 x 2 y + g ' ( y )

E agora a gente compara isso com N ( x , y ) :

2 y x 2 + 4 = 2 x 2 y + g ' y

g ' y = 4

Vamos integrar isso agora para descobrir quem é g ( y ) :

∫ 4   d y =   4 y = g ( y )

(a constante a gente vai colocar ali no final)

Passo 4

Beleza, agora já encontramos g ( y ) , vamos substituir lá em ( * ) e escrever da forma certinha, igualando a uma constante:

x 2 y 2 - 3 x + g y

x 2 y 2 - 3 x + 4 y = c

E assim chegamos à solução da equação!

Resposta

É exata.

Solução: x 2 y 2 - 3 x + 4 y = c

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