Enunciado

Suponha que a função f tenha por domínio todos os números reais. Mostre que

 f  pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar. [Sugestão: Ver Exercício 64.]

Passo 1

Cara, na questão 64, que foi a sugestão do enunciado, tínhamos uma função f tinha por domínio todos os números reais. E vimos que:

g x = f x + f ( - x ) 2

É par. E que:

h x = f x - f ( - x ) 2

É ímpar, ok?

Nessa questão, queremos escrever f pela soma de uma função par e uma função ímpar e nos sugere usar a questão 64... Mera coincidência? Eu acho que não. Como queremos a soma de uma função par com uma ímpar, vamos somar g e h :

g x + h x = f x + f ( - x ) 2 + f x - f ( - x ) 2

Podemos juntar as frações:

g x + h x = f x + f - x + f x - f ( - x ) 2

Fazendo essa soma:

g x + h x = 2 f x 2

Simplificando:

g x + h x = f ( x )

Opa, acabamos de mostrar que f pode ser escrita como g + h , ou seja, uma soma de uma função par com uma função ímpar! É só isso mesmo, nessa questão.

Resposta

Explicação no passo a passo.

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