Enunciado

Suponha que o gráfico de y = log 2 ⁡ x é feito sobre uma malha coordenada onde a unidade de comprimento é de 1 polegada. Quantas milhas à direita da origem devemos percorrer antes de a altura da curva atingir 3 pés?

Passo 1

Se liga que pra resolvermos essa questão, vamos precisar ficar atentos a duas coisas importantes:

→   Conversão de unidades. O enunciado fala de polegadas, milhas e pés. Vamos precisar relacionar esses caras de alguma maneira.

→   Propriedades de logaritmo. Como vamos precisar trabalhar com o gráfico da função y = log 2 ⁡ x , é provável que algumas propriedades sejam necessárias.

Vamos dar uma olhada juntos em como resolver cada um desses problemas.

Passo 2

Vamos começar com as conversões de unidades. Como a nossa malha coordenada está em polegadas, vai ser interessante pra gente usar essa unidade como a nossa referência.

Então vamos, primeiramente, fazer as conversões de pés ( f t ) para polegadas ( i n ) . Caso você não se lembre, anota aí:

1   f t = 12   i n

Legal! Agora a conversão entre milhas ( m i ) e polegadas vai ficar assim:

1   m i = 63360   i n

Passo 3

Agora que sabemos como fazer as conversões, vamos tentar trabalhar com o logaritmo. Relembrando, a nossa função é essa aqui:

y =   log 2 ⁡ x

O enunciado diz que a altura da curva vai atingir 3   f t . Se estamos falando de altura, sabemos que o enunciado se refere à variável y . Então sabemos que:

3   f t = log 2 ⁡ x

Fazendo a conversão pra polegadas, temos:

3   f t ⋅ 12 i n f t = 36   i n = log 2 ⁡ x

Como queremos saber quanto caminhamos pra direita até chegar nessa altura, sabemos que o enunciado quer saber o valor de x nessa situação. E como fazemos pra isolar o x nessa expressão?

Vamos precisar lembrar da definição de logaritmos, que diz o seguinte:

log b ⁡ a = x ⇔ a = b x

Aplicando na nossa expressão, temos:

36   i n = log 2 ⁡ x   ⇔ x =   2 36   i n

Conseguimos isolar o x . Agora só falta a última conversão:

Passo 4

Vamos lá! O enunciado pede o resultado em milhas. Então, temos o seguinte:

x = 2 36   i n ⋅ 1 63360 m i i n

Fazendo essa conta, encontramos o valor aproximado:

x ≈ 1084587,7   m i

Resposta

x ≈ 1084587,7   m i

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33. Expresse a seguinte função como uma função racional de x : 3 ln ⁡ e 2 x e x 3 + 2 exp ⁡ ln ⁡ 1
39. a) Mostre que os gráficos de y = ln ⁡ xey = x 0,2 se cruzam.b) Aproxime as soluções da equação x = x 0,2 com 3 casas decimais.
41. Considere f x = x 2 tan ⁡ x + ln ⁡ x ,c o m0xπ / 2 .Explique por que f é injetora.Use um recurso gráfico para exibir o gráfico de f . Depois exiba os gráficos de f e de f - 1 juntos na mesma janel
40. a) Mostre que, para x0 e k ≠ 0 , as equações x k = e xeln ⁡ x x = 1 k Têm as mesmas soluções.b) Use o gráfico de y = ( ln ⁡ x ) / x para determinar os valores de k com os quais a equação x k = e x
Resolva cada equação em relação a x :