Enunciado

Suponha que f seja uma função ímpar e derivável em toda a parte. Demonstre que para todo o número positivo b existe um número c ( - b , b ) tal que f ' c = f b b .

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e eu estarei te ajudando a resolver essa atividade. Queremos provar para dada a função dada, a relação

f ' c = f b b

Para o intervalo - b , b .

Para isso, iremos utilizar o Teorema de Valor Médio.

O Teorema do Valor Intermediário diz que:

Se f ( x ) é continua no intervalo fechado [ a , b ] e é diferençável no intervalo aberto ( a , b ) , então

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Passo 2

f satisfaz o Teorema do Valor Médio então nós usaremos esse teorema no intervalo [ - b , b ] .

f b - f - b b - - b = f ' c

para algum c no intervalo ( - b , b )

Desde que f seja ímpar, f - b = - f ( b )

Passo 3

Substituindo esse valor em f b - f - b b - - b = f ' c temos:

f b + f b 2 b = f ' c

f b b = f ' ( c )

Resposta

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