Enunciado

Calcule.

int (x + 5)/(x^3 - 4 x^2 + 4 x) d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.

Vamos manipular um pouco o denominador, para poder aplicar frações parciais:

(x + 5)/(x^3 - 4 x^2 + 4 x) = (x + 5)/(x (x^2 - 4 x + 4))

Agora vamos achar as raízes de x^2 - 4 x + 4 usando Bhaskara:

x = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- (- 4) +- sqrt((- 4)^2 - 4 * 1 * 4))/(2 * 1) = (+ 4 +- sqrt(0))/(2) = (4)/(2) = 2

Assim ficamos com:

x^3 - 4 x^2 + 4 x = x (x^2 - 4 x + 4) = x (x - 2)^2

Substituindo na integral:

int (x + 5)/(x^3 - 4 x^2 + 4 x) d x = int (x + 5)/(x (x - 2)^2) d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, com alguns se repetindo, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x + 5)/(x (x - 2)^2) = (A)/(x) + (B)/(x - 2) + (C)/((x - 2)^2)

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x (x - 2)^2 :

x + 5 = A (x - 2)^2 + B x (x - 2) + C x

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x + 5 = A (x - 2)^2 + B x (x - 2) + C x

x + 5 = A (x^2 - 4 x + 4) + B x^2 - 2 B x + C x

x + 5 = A x^2 - 4 A x + 4 A + B x^2 - 2 B x + C x

x + 5 = x^2 (A + B) + x (- 4 A - 2 B + C) + (4 A)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0],[- 4 A - 2 B + C = 1],[4 A = 5 -> A = (5)/(4)]])

Substituindo o valor de A na primeira:

A + B = 0 -> B = - A = - (5)/(4)

Substituindo o valor de A e B na segunda temos:

- 4 A - 2 B + C = 1 -> - 4 * (5)/(4) - 2 (- (5)/(4)) + C = 1 -> - 5 + (5)/(2) + C = 1 -> C = 1 + 5 - (5)/(2) ->

-> C = (2 + 10 - 5)/(2) = (7)/(2)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x + 5)/(x (x - 2)^2) d x = int ((5)/(4))/(x) + (- (5)/(4))/(x - 2) + ((7)/(2))/((x - 2)^2) d x = int (5)/(4 x) - (5)/(4 (x - 2)) + (7)/(2 (x - 2)^2) d x = int (5)/(4 x) d x + int - (5)/(4 (x - 2)) d x + int (7)/(2 (x - 2)^2) d x

Passo 3

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (5)/(4 x) d x = (5)/(4) int (1)/(x) d x = (5)/(4) ln |x| + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (5)/(4 (x - 2)) d x = - (5)/(4) int (1)/((x - 2)) d x = - (5)/(4) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (5)/(4) int (1)/(v) d v = - (5)/(4) ln |v| + C

Passo 5

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x - 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (7)/(2 (x - 2)^2) d x = (7)/(2) int (1)/((x - 2)^2) d x = (7)/(2) int (1)/(t^2) d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

(7)/(2) int (1)/(t^2) d t = (7)/(2) int t^(- 2) d t = (7)/(2) * (t^(- 2 + 1))/(- 2 + 1) + C = (7)/(2) * (t^(- 1))/(- 1) + C = - (7)/(2 t) + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

int (x + 5)/(x^3 - 4 x^2 + 4 x) d x = int (5)/(4 x) d x + int - (5)/(4 (x - 2)) d x + int (7)/(2 (x - 2)^2) d x = (5)/(4) ln |x| - (5)/(4) ln |v| - (7)/(2 t) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (x + 5)/(x^3 - 4 x^2 + 4 x) d x = (5)/(4) ln |x| - (5)/(4) ln |v| - (7)/(2 t) + C = (5)/(4) ln |x| - (5)/(4) ln |x - 2| - (7)/(2 (x - 2)) + C

Resposta

int (x + 5)/(x^3 - 4 x^2 + 4 x) d x = (5)/(4) ln |x| - (5)/(4) ln |x - 2| - (7)/(2 (x - 2)) + C

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