Calcule.

∫ x + 5 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a técnica por Frações Parciais, ou seja, vamos expressar a função racional como uma soma de frações parciais, para isso vamos achar as raízes do denominador.

Vamos manipular um pouco o denominador, para poder aplicar frações parciais:

x + 5 x 3 - 4 x 2 + 4 x = x + 5 x x 2 - 4 x + 4

Agora vamos achar as raízes de x 2 - 4 x + 4 usando Bhaskara:

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 4 ± - 4 2 - 4 ∙ 1 ∙ 4 2 ∙ 1 = + 4 ± 0 2 = 4 2 = 2

Assim ficamos com:

x 3 - 4 x 2 + 4 x = x x 2 - 4 x + 4 = x x - 2 2

Substituindo na integral:

∫ x + 5 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x = ∫ x + 5 x x - 2 2 d x

Passo 2

Vamos analisar o denominador, ele é um produto de fatores lineares distintos, com alguns se repetindo, vamos então usar a seguinte fórmula:

x + 5 x x - 2 2 = A x + B x - 2 + C x - 2 2

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x x - 2 2 :

x + 5 = A x - 2 2 + B x x - 2 + C x

Agora vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x + 5 = A x - 2 2 + B x x - 2 + C x

x + 5 = A x 2 - 4 x + 4 + B x 2 - 2 B x + C x

x + 5 = A x 2 - 4 A x + 4 A + B x 2 - 2 B x + C x

x + 5 = x 2 A + B + x - 4 A - 2 B + C + 4 A

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x 2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 - 4 A - 2 B + C = 1 4 A = 5 → A = 5 4

Substituindo o valor de A na primeira:

A + B = 0 → B = - A = - 5 4

Substituindo o valor de A e B na segunda temos:

- 4 A - 2 B + C = 1 → - 4 ⋅ 5 4 - 2 - 5 4 + C = 1 → - 5 + 5 2 + C = 1 → C = 1 + 5 - 5 2 →

→ C = 2 + 10 - 5 2 = 7 2

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ x + 5 x x - 2 2 d x = ∫ 5 4 x + - 5 4 x - 2 + 7 2 x - 2 2 d x = ∫ 5 4 x - 5 4 x - 2 + 7 2 x - 2 2 d x = ∫ 5 4 x d x + ∫ - 5 4 x - 2 d x + ∫ 7 2 x - 2 2 d x

Passo 3

Pronto, agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Na primeira é fácil achar as primitivas da função, usando essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 5 4 x d x = 5 4 ∫ 1 x d x = 5 4 ln ⁡ x + C

Passo 4

Com a segunda vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

v = x - 2

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ - 5 4 x - 2 d x = - 5 4 ∫ 1 x - 2 d x = - 5 4 ∫ 1 v d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 5 4 ∫ 1 v d v = - 5 4 ln ⁡ v + C

Passo 5

Com a última vamos usar a Regra da Substituição também:

t = x - 2

Vamos agora achar diferencial de t , derivando:

d t = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 7 2 x - 2 2 d x = 7 2 ∫ 1 x - 2 2 d x = 7 2 ∫ 1 t 2 d t

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

7 2 ∫ 1 t 2 d t = 7 2 ∫ t - 2 d t = 7 2 ⋅ t - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 7 2 ⋅ t - 1 - 1 + C = - 7 2 t + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

∫ x + 5 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x = ∫ 5 4 x d x + ∫ - 5 4 x - 2 d x + ∫ 7 2 x - 2 2 d x = 5 4 ln ⁡ x - 5 4 ln ⁡ v - 7 2 t + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x + 5 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x = 5 4 ln ⁡ x - 5 4 ln ⁡ v - 7 2 t + C = 5 4 ln ⁡ x - 5 4 ln ⁡ x - 2 - 7 2 x - 2 + C

Resposta

∫ x + 5 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x = 5 4 ln ⁡ x - 5 4 ln ⁡ x - 2 - 7 2 x - 2 + C

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