c) ∫ x 4 + x + 1 x 3 - x d x

Passo 1

I = ∫ x 4 + x + 1 x 3 - x d x

Analisando a integral, vemos que é interessante quebrar em frações parciais. Mas antes temos que dividir os polinômios para o grau do numerador ficar menor do que o do denominador!!

Fazendo a divisão, as coisas ficam assim:

Logo,

x 4 + x + 1 = x 3 - x ⋅ x + ( x 2 + x + 1 )

Então nossa integral fica assim :

I = ∫ x 4 + x + 1 x 3 - x d x = x 3 - x ⋅ x + ( x 2 + x + 1 ) x 3 - x d x = ∫ x + x 2 + x + 1 x 3 - x d x

Dividindo em duas, temos:

I = ∫ x   d x + ∫ x 2 + x + 1 x 3 - x d x = I 1 + I 2

A primeira fica assim:

I 1 = ∫ x   d x = x 2 2 + c 1

A segunda é mais casca grossa!

I 2 = ∫ x 2 + x + 1 x 3 - x d x = ∫ x 2 + x + 1 x ⋅ ( x 2 - 1 ) d x = ∫ x 2 + x + 1 x ⋅ x - 1 ⋅ ( x + 1 ) d x

Vamos chamar o que queremos integrar de E e escreve-lo em frações parciais.

E = x 2 + x + 1 x ⋅ x - 1 ⋅ ( x + 1 ) = A x + B x - 1 + C x + 1     ( i )

Deixando os denominadores iguais:

E = A ⋅ x - 1 ⋅ x + 1 + B ⋅ x ⋅ x + 1 + C ⋅ x ⋅ x - 1 x ⋅ x - 1 ⋅ x + 1

Passo 2

Fazendo as contas, temos:

E = A ⋅ x 2 - 1 + B ⋅ x 2 + x + C ⋅ x 2 - x x ⋅ x - 1 ⋅ x + 1

Arrumando a casa:

E = x 2 ⋅ A + B + C + x ⋅ B - C - A x ⋅ x - 1 ⋅ x + 1

Agora vamos voltar para nossa relação ( i ) :

E = x 2 + x + 1 x ⋅ x - 1 ⋅ x + 1 = x 2 ⋅ A + B + C + x ⋅ B - C - A x ⋅ x - 1 ⋅ x + 1

Eita que coisa feia, mas pelo menos é só comparar os coeficientes que acaba essa parte! 😉

x 2 + x + 1 ≡ x 2 ⋅ A + B + C + x ⋅ B - C - A

A + B + C = 1 B - C = 1 - A = 1

Logo, A = - 1

B + C = 2 B - C = 1

Resolvendo o sistema, temos:

B = 3 2   ;   C = 1 2

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 3

Agora é só terminar!

I 2 = ∫ x + 1 x ⋅ x - 1 ⋅ x + 1 d x = ∫ ( - 1 ) x d x + ∫ 3 2 x - 1 d x + ∫ 1 2 x + 1 d x

Tirando as constantes da integral:

I 2 = - 1 ⋅ ∫ 1 x d x + 3 2 ⋅ ∫ 1 x - 1 d x + 1 2 ⋅ ∫ 1 x + 1 d x  

Resolvendo:

I 2 = - ln ⁡ x + 3 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + c 2

Logo, temos:

I = I 1 + I 2 = x 2 2 + c 1 - ln ⁡ x + 3 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + c 2

Juntando as constantes:

I = x 2 2 - ln ⁡ x + 3 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + c

Resposta

x 2 2 - ln ⁡ x + 3 2 ⋅ ln ⁡ x - 1 + 1 2 ⋅ ln ⁡ x + 1 + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados