Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 31
Suponha que e sejam variáveis aleatórias, onde tem distribuição normal com média e desvio-padrão e tem distribuição normal com média e desvio-padrão .
(a) Encontre .
(b) Encontre .
Passo 1
Repare que as variáveis aleatórias e são normalmente distribuídas com Então podemos escrever a função densidade conjunta delas assim:
Passo 2
(a) Agora podemos escrever a integral que calcula a probabilidade:
Se usarmos um CAS para calcular a integral, encontraremos:
Passo 3
(b) Agora teremos:
onde é a região dentro da elipse:
Vamos tentar isolar para encontrar os limites de integração em :
Passo 4
Para encontrar os limites de integração em , note que os extremos em ocorrem à metade da altura da elipse. Ou seja, se o centro da elipse aqui é , então os extremos em ocorrem quando . Substituímos isso na equação:
Ou seja, a integral vai ficar assim:
Utilizando um CAS, nós obtemos:
Resposta
(a)
(b)