Enunciado

Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias, onde X tem distribuição normal com média 45 e desvio-padrão 0,5 e Y tem distribuição normal com média 20 e desvio-padrão 0,1 .

(a) Encontre P 40 ≤ X ≤ 50   ,     20 ≤ Y ≤ 25 .

(b) Encontre P 4 X - 45 2 + 100 Y - 20 2 ≤ 2 .

Passo 1

Repare que as variáveis aleatórias X e Y são normalmente distribuídas com μ 1 = 45   ,     μ 2 = 20   ,     σ 1 = 0,5   ,     σ 2 = 0,1   . Então podemos escrever a função densidade conjunta delas assim:

f x ,   y = f 1 x   f 2 y = 1 0,5 2 π e - 1 2 x - 45 0,5 2 1 0 , 1 2 π e - 1 2 y - 20 0,1 2 = 10 π e - 2 x - 45 2 - 50 y - 20 2

Passo 2

(a) Agora podemos escrever a integral que calcula a probabilidade:

P 40 ≤ X ≤ 50   ,       20 ≤ Y ≤ 25 = ∫ 40 50 ∫ 20 25 10 π e - 2 x - 45 2 - 50 y - 20 2 d y   d x

Se usarmos um CAS para calcular a integral, encontraremos:

P 40 ≤ X ≤ 50   ,       20 ≤ Y ≤ 25 ≈ 0,500

Passo 3

(b) Agora teremos:

P 4 X - 45 2 + 100 Y - 20 2 ≤ 2 = ∫ ∫ D 10 π e - 2 x - 45 2 - 50 y - 20 2 d A

onde D é a região dentro da elipse:

4 x - 45 2 + 100 y - 20 2 = 2

Vamos tentar isolar y para encontrar os limites de integração em y :

y - 20 2 = 2 - 4 x - 45 2 100

y - 20 = ± 1 10 2 - 4 x - 45 2

y = 20 ± 1 10 2 - 4 x - 45 2

Passo 4

Para encontrar os limites de integração em x , note que os extremos em x ocorrem à metade da altura da elipse. Ou seja, se o centro da elipse aqui é 45 ,   20 , então os extremos em x ocorrem quando y = 20 . Substituímos isso na equação:

4 x - 45 2 + 100 20 - 20 2 = 2

x - 45 2 = 2 4

x - 45 = ± 1 2

x = 45 ± 1 2

Ou seja, a integral vai ficar assim:

10 π ∫ 45 - 1 2 45 + 1 2 ∫ 20 - 1 10 2 - 4 x - 45 2 20 + 1 10 2 - 4 x - 45 2 e - 2 x - 45 2 - 50 y - 20 2 d y   d x

Utilizando um CAS, nós obtemos:

P 4 X - 45 2 + 100 Y - 20 2 ≤ 2 ≈ 0,632

Resposta

(a) 0,500

(b) 0,632

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