Suponha que

∑ k = 1 n a k = 0

e

∑ k = 1 n b k = 1

Determine os valores de

d.

∑ k = 1 n ( b k - 1 )

Passo 1

O exercício pede para que a gente calcule o valor da somatória dada.

∑ k = 1 n ( b k - 1 )

Passo 2

Vamos analisar as propriedades da somatória.

∑ k = 1 n b k - 1 = ( b 1 - 1 ) + b 2 - 1 + b 3 - 1 + … + ( b n - 1 )

Olha só, b k são números reais, então eles são comutativos, ou seja, a gente pode reorganizar essa soma da seguinte forma.

∑ k = 1 n ( b k + 1 ) = ( b 1 + b 2 + b 3 + … + b n ) + ( - 1 - 1 - 1 - … - 1 )

Repare que podemos colocar o sinal negativo em evidência

∑ k = 1 n ( b k + 1 ) = ( b 1 + b 2 + b 3 + … + b n ) - ( 1 + 1 + 1 + … + 1 )

Agora vamos podemos organizar em duas somatórias

∑ k = 1 n ( b k - 1 ) =   ∑ k = 1 n b k - ∑ k = 1 n 1

Passo 3

Mas o enunciado nos dá que

∑ k = 1 n b k = 1

e sabemos também que

∑ k = 1 n 1 = n

Pois estamos somando n termos de valor 1

Então temos

∑ k = 1 n ( b k - 1 ) =   ∑ k = 1 n b k - ∑ k = 1 n 1 = 1 - n

Resposta

O resultado da somatória é 1 - n .

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