Enunciado

Suponhamos que a derivada da função y = f ( x ) seja y ' = x - 1 2 ( x - 2 ) .

Em que pontos, se houver, o gráfico de f apresenta um mínimo local, um máximo local, ou um ponto de inflexão? (Dica: desenhe o padrão de sinais de y'.)

Passo 1

A função apresenta mínimos ou máximos locais quando a derivada primeira é zero, são os pontos críticos:

y ' = x - 1 2 x - 2 = 0 → x = 1   o u   x = 2

A partir dos pontos críticos, se a derivada segunda for negativa temos um ponto de máximo, e se for positiva, temos um ponto de mínimo.

Passo 2

Vamos calcular a derivada segunda então...

y ' ' = 2 x - 1 x - 2 + 1 x - 1 2 = x - 1   2 x - 2 + x - 1

Substituindo os valores nessa função então, temos:

y ' ' 1 = 0

y ' ' 2 = 1 > 0

Sobre x = 1 ainda não podemos afirmar nada pois y ' ' foi nula. Mas já sabemos que temos um mínimo local em x = 2 .

Passo 3

Os pontos de inflexão são quando a derivada segunda é zero. Nossa y ' ' é:

y ' ' =   x - 1   2 x - 2 + x - 1 = 3 x 2 - 8 x + 5 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x = 2   e   x = 5 3 .

Passo 4

Vamos então fazer a tabela de sinais de y ' e y ' ' para definir os intervalos de crescimento e o tipo de concavidade:

Então, temos pontos de inflexão em x = 1 e x = 5 3 .

Resposta

Ponto mínimo: x = 2 .

Ponto máximo: não tem

Pontos de inflexão: = 1 e x = 5 3 .

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