Enunciado

A tabela fornece a população dos Estados Unidos, em milhões, para os anos 1900 - 2000 .

Use o modelo exponencial e os dados do censo para 1900 e 1910 para prever a população em 2000. Compare com os dados reais e tente explicar a discrepância.

Passo 1

O exercício fornece uma tabela com a evolução da população americana e pede para aplicarmos um modelo exponencial com as populações de 1900 e 1910 para prever a população em 2000.

O modelo exponencial é do tipo

P t = A e k t

Devemos achar as constante A e k . Para isso, usamos que

P 1 900 = 76                   e                     P 1 9 1 0 = 92

Assim,

A e 1 9 1 0 k = 92 A e 1 90 0 k = 76

Passo 2

Dividino a primeira equação pela segunda:

e 1 0 k = 92 76 ⇒ 10 k = ln ⁡ 92 76 ⇒ k = 1 1 0 ⋅ ln ⁡ 92 76

Portanto,

k = 0,0 191

Voltando para a primeira equação:

A = 92 e 1 9 1 0 k

Substituindo o valor de k encontrado:

A = 1,319 ⋅ 10 - 14

Portanto,

P t = 1,319 ⋅ 10 - 14   e 0,0 191 t

Passo 3

Agora fazemos t = 20 0 0 :

P 2000 = 1,319 ⋅ 10 - 14   e 0,0 191 ⋅ 200 0 = 513,3

Achamos um valor bem maior que a população real. Isso se deve a redução da taxa de crescimento da população na segunda metade do século XX, o que não é considerado no modelo exponencial que considera uma taxa relativa constante!

Resposta

P 200 0 = 513,3

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