Enunciado

Derive as equações 1 para o caso (pi)/(2) < theta < pi .

Passo 1

O exercício pede para deduzirmos a equação paramétrica para a cicloide considerando (pi)/(2) < theta < pi . Para isso, fazemos o seguinte desenho:

Note que

x = r theta - r cos t e t = r + r s e n t ,

onde

theta = t + (pi)/(2) => t = theta - (pi)/(2)

Passo 2

Sabemos que

cos t = cos (theta - (pi)/(2)) = cos theta cos (pi)/(2) + s e n theta s e n (pi)/(2) = s e n theta

s e n t = s e n (theta - (pi)/(2)) = s e n theta cos (pi)/(2) - s e n (pi)/(2) cos theta = - cos theta

Assim,

x = r theta - r s e n theta e y = r - r cos theta

Logo,

x = r (theta - s e n theta) e y = r ( 1 - cos theta )

Essa é a fórmula que queríamos achar: a equação paramétrica da cicloide!

Resposta

Demonstração.

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