Enunciado

Alguns sistemas de computação algébrica têm comandos que traçam retângulos aproximantes e calculam as somas de suas áreas, pelo menos se x i * for uma extremidade esquerda ou direita. (Por exemplo, no Maple use leftbox, rightbox, leftsum e rightsum.)

(a) Se f x = 1 x 2 + 1 ,   0 ≤ x ≤ 1 , encontre as somas esquerda e direita para n = 10 ,   30 e 50 .

(b) Ilustre fazendo o gráfico dos retângulos da parte (a).

(c) Mostre que a área exata sob f está entre 0,780 e 0,791 .

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😉

No Maple, nós temos que executar um número de passos antes de conseguir uma resposta numérica. Depois de carregar o pacote de estudante com [ c o m m a n d : w i t h s t u d e n t ; ] nós usamos o comando l e f t _ s u m :   = l e f t s u m ( x ^ ( 1 2 ) ,   x = 1 . . 4 ,   10   o u   30 ,   o u   50 ) ; o que nos dá a expressão em notação de soma.

Para termos a aproximação da soma, nós usamos e v a l f ( l e f t _ s u m ) ; . Matemática não tem um comando especial para essas somas, então nós devemos digitá-las manualmente. Por exemplo:

A primeira soma esquerda é dada por 3 10 * S u m [ S q r t [ 1 + 3 ( i - 1 ) / 10 ] ,   { i , l , 10 } , e nós usamos o comando N no que se resulta para termos uma aproximação numérica.

Na Derivada, nós usamos o comando L E F T _ R I E M A N N para ter as somas esquerdas, mas devemos decidir as somas direitas por nós mesmos.

Veja só! 😉

Passo 2

  1. Com f x = 1 x 2 + 1 ,   0 ≤ x ≤ 1 , as somas esquerdas estão sob a forma:
  2. L n = 1 n ∑ i = 1 n 1 i - 1 n 2 + 1

    Então, especificamente,

    L 10 ≈ 0.8100

    L 30 ≈ 0.7937

    L 50 ≈ 0.7904

    As somas direitas estão sob a forma:

    R n = 1 n ∑ i = 1 n 1 i n 2 + 1

    Então, especificamente:

    R 10 ≈ 0.7600

    R 30 ≈ 0.7770

    R 50 ≈ 0.7804

    Tranquilo até aqui? 😁

    Passo 3

  3. Pontos extremos esquerdos:
  4. Pontos extremos direitos:

    Passo 4

  5. Nós sabemos que desde que y = 1 x 2 + 1 é uma função decrescente em ( 0,1 ) , todas as somas esquerdas são maiores do que a área real, e todas as somas direitas são menores. Desde que a soma esquerda com n = 50 está entre 0.7904 < 0.791 e a soma direita, também com n = 50 , está entre 0.7804 > 0.780 , nós concluímos que 0.780 < R 50 < á r e a   e x a t a < L 50 < 0.791 , logo, a área exata está entre 0.780 e 0.791 .

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😇

Resposta

a) L 10 ≈ 0.8100

L 30 ≈ 0.7937

L 50 ≈ 0.7904

R 10 ≈ 0.7600

R 30 ≈ 0.7770

R 50 ≈ 0.7804

b)

c) entre 0.780 e 0.791 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se f x = x - 2 ,1 ≤ x ≤ 6 , calcule a soma de Riemann com n = 5 correta até a sexta casa decimal, tomando como pontos amostrais os pontos médios. O que representa a soma de Riemann? Ilustre com um dia
Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ x i x i . ∆ x [ π ,2 π ]
Com uma calculadora programável ou computador (veja as instruções para o Exercício 9 da Seção 5.1), calcule as somas de Riemann esquerda e direita para a função f x = sen ⁡ ( x 2 ) no intervalo [ 0,1
Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado n para aproximar a integral. Arredonde cada reposta para quatro casas decimais. ∫ 2 4 x ln ⁡ x d x ,n = 4
Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado. lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n [ 4 - 3 x i * 2 + 6 x i * 5 ] . ∆ x [ 0 ,2 ]