Enunciado

Um tanque cilíndrico, mostrado na Figura E x - 18 , está cheio com um líquido pesando 50   I b / p é 3 . Encontre o trabalho necessário para bombear todo o líquido a um nível de 1   p é acima do topo do tanque.

Passo 1

Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Queremos o trabalho para bombear todo o líquido para cima. Podemos cortar nosso volume de líquido em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.

Aí lembramos que para uma força constante:

W = F f a t i a d

Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia. Vamos lá!

Passo 2

Vamos descobrir o valor da força por fatia.

Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm uma altura infinitesimal d x .

Nosso reservatório está deitado, então a visão frontal da situação que a gente tem é:

A largura w vai variar com x . A gente pode usar o Teorema de Pitágoras para achar w ( x ) , por essa figura de cima:

x 2 + w x 2 2 = 2 2 ∴ w x = 2 4 - x 2

Logo, o volume fica:

V = w x ⋅ 10 ⋅ d x = 20 4 - x 2 d x  

Para achar a força peso, podemos multiplicar o volume pela densidade de peso do líquido que é igual a 50   I b / p é 3 . E como queremos que a força por fatia supere a força peso:

F f a t i a = P = 50   V = 1000 4 - x 2 d x  

Passo 3

Precisamos entender agora como é o nosso valor de d para cada fatia:

Repara que podemos escrever:

d = 1 + 2 - x = 3 - x  

Sendo que x vai de - 2 a 2   p é s .

Passo 4

O trabalho fica com essa carinha:

W f a t i a = F d = 1000 4 - x 2 d x   ⋅ 3 - x = 1000 4 - x 2 3 - x d x  

Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório:

W t o t a l = ∫ - 2 2 1000 4 - x 2 3 - x d x = 3000 ∫ - 2 2 4 - x 2 d x - 1000 ∫ - 2 2 x 4 - x 2 d x

A primeira integral a gente resolve por substituição trigonométrica e segunda por substituição simples. Com isso:

W t o t a l = 6000 π   p é s ⋅ I b

Resposta

W t o t a l = 6 000 π   p é s ⋅ I b

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →