Enunciado

22.Um Reservatório é da forma de um paralelepípedo retângulo de 1,40   m de profundidade, 4   m de largura e 8   m de comprimento. Encontrar o trabalho necessário para bombear a água do reservatório ao nível de 1   m acima da superfície do mesmo.

Passo 1

Faremos essa questão como uma aplicação da soma de Riemann, para isso vamos considerar uma partição de P de 0 ; 1,40 . Admitiremos o fundo recipiente como a origem do nosso sistema.

E consideraremos vários planos horizontais cortando esse paralelepípedo retangular, nas profundidades y = y j , j = 0 , 1 , … , n .

A espessura dos elementinhos determinados por esses planos horizontais é ∆ y i

Passo 2

A área do elementinho é bem tranquila de ser calculada, será o comprimento vezes largura.

8 × 4 = 32   m 2

O volume é facinho de calcular, apenas precisamos multiplicar a área do elementinho 32   m 2 pela espessura ∆ y i , que é dado por:

32   ∆ y i

Para acharmos o peso da água correspondente é só multiplicar pela densidade ( 9807 k g m 3 ) .

9807   × 32   ∆ y i

Beleza, já estamos quase acabando, só precisamos descobrir a altura e multiplicar pela expressão do peso. Ora, se o elementinho está a uma altura y j é porque falta 2,4 - y j para subir, pois temos que subir além de 1,4   m da profundidade temos que subir mais 1   m , então o trabalhinho desse elementinho será:

9807   × 32   ∆ y i   2,4 - y j

Passo 3

Agora precisamos calcular todos os elementinhos, que é dado por o somatório.

W = ∑ j = 1 n 9807   × 32   ∆ y i   2,4 - y j

Para acharmos a solução precisamos integrar, pois a solução acima é apenas uma aproximação.

W = ∫ 0 1,4 9807   × 32   2,4 - y d y = 313.824 ∫ 0 1,4 2,4 - y d y

Focamos na resolução da integral!

W = 313.824 ∫ 0 1,4 2,4 - y d y = 313.824 2,4 y - y 2 2 1,4 0 = 313.824 3,36 - 0,98

Usando a sua calculadora, vamos acabar a questão e correr para o abraço.

W = 313.824 2,38 = 746.901,12 J

Resposta

W = 746.901,12 J

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