Enunciado

A taxa (em mg de carbono/m²/h) na qual a fotossíntese ocorre para uma espécie de fitoplâncton é modelada pela função:

P = 100 I I ² + I + 4

em que I é a intensidade da luz (medida em milhares de velas). Para qual intensidade de luz P é máximo?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a intensidade máxima de luz P , sabendo que ela é modelada pela função:

P = 100 I I ² + I + 4

em que I é a intensidade da luz (medida em milhares de velas).

Isso significa que vamos ter que encontrar o ponto máximo da nossa função. E esse ponto máximo é sempre um ponto crítico da função, lembra dele?

Os pontos críticos são os pontos nos quais a derivada é igual à zero, ou a derivada não existe. Sendo assim, precisamos primeiro derivar nossa função, igualar esse resultado a zero e analisar os pontos obtidos pra descobrir os pontos de máximo.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função usando a Regra do quociente ( f g ' = f ' g - f g ' g 2 ):

P ' = 100 I ' ∙ I 2 + I + 4 - 100 I ∙ I 2 + I + 4 ' ( I ² + I + 4 ) ²

P ' = 100 ∙ I 2 + I + 4 - 100 I ∙ ( 2 I + 1 ) ( I ² + I + 4 ) ²

Aplicando a distributiva nos produtos:

P ' = 100 I ² + 100 I + 400 - 2 00 I 2 - 100 I ( I ² + I + 4 ) ²

E simplificando, temos:

P ' = - 100 I ² + 400 ( I ² + I + 4 ) ²

Passo 3

Agora vamos igualar a derivada a zero, para encontrar os pontos críticos:

- 100 I ² + 400 ( I ² + I + 4 ) ² = 0

Como o denominador não pode ser zero, temos:

- 100 I 2 + 400 = 0

E isolando I :

100 I 2 = 400

→ I ² = 4

Tirando a raiz, ficamos com:

I = ± 2

Passo 4

Já sabemos que existem dois pontos críticos, I = 2 e I = - 2 quando a derivada da função é zero. Agora precisamos saber se existe algum ponto cuja derivada não existe.

A nossa única possibilidade para a derivada não existir é um denominador igual a zero, concordam?

Vamos verificar se este ponto existe:

I ² + I + 4 = 0

Usando Bhaskara, vamos ter:

I = - 1 ± 1 2 - 4 . 1.4 2 ∙ 1

I = - 1 ± - 15 2

Como a raiz é negativa não existe valor real para x que proporcione um denominador negativo. Então voltamos a ter somente dois pontos críticos.

Passo 5

Agora pra saber qual ponto é de máximo e qual é de mínimo, vamos substitui-los na função. Assim, temos:

P 2 = 100 ∙ ( 2 ) 2 2 + 2 + 4

P 2 = 200 10

P ( 2 ) = 20

E

P - 2 = 100 ∙ ( - 2 ) - 2 2 - 2 + 4

P - 2 = - 200 6

P ( - 2 ) = - 100 3

Portanto, P é máximo quando a intensidade de luz vale 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

I = 2

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