Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 46
Use a Lei de Gauss para encontrar a carga dentro de um cubo com vértices se o campo elétrico é
Passo 1
A carga dentro de uma superfície é dada por:
Nós aqui podemos dividir em seis partes, que são as seis faces do cubo. Por convenção, aponta para fora.
O fluxo através da face do cubo que faz parte do plano . Assim,
onde é um vetor normal à superfície. Portanto, .
Note que para todos os pontos, .
Essa integral acaba sendo a área da face do cubo! Portanto, o valor é unidades quadradas.
Passo 2
O fluxo através da face do cubo que faz parte do plano . Assim,
onde é um vetor normal à superfície. Portanto, .
Note que para todos os pontos, .
Essa integral acaba sendo a área da face do cubo! Portanto, o valor é unidades quadradas.
Passo 3
A gente pode observar que ambas a superfície e são simétricas em termos de e . Portanto, o fluxo que atravessa as outras quatro faces do cubo também serão iguais a 4 unidades quadradas. Logo, o fluxo total através do cubo é
Assim, a carga dentro da superfície é
Resposta
A carga é igual a: