Enunciado

Use a Lei de Gauss para encontrar a carga dentro de um cubo com vértices ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) se o campo elétrico é

E x , y , z = x i + y j + z k

Passo 1

A carga dentro de uma superfície S é dada por:

Q = ϵ o ∬ E . d S

Nós aqui podemos dividir S em seis partes, que são as seis faces do cubo. Por convenção, d S aponta para fora.

O fluxo através da face do cubo que faz parte do plano x = 1 . Assim,

∬ E . d S = ∬ E . n d S

onde n é um vetor normal à superfície. Portanto, n = i .

∬ E . d S = ∬ x i + y j + z k . i d S

∬ E . d S = ∬ x d S

Note que para todos os pontos, x = 1 .

∬ E . d S = ∬ d S

Essa integral acaba sendo a área da face do cubo! Portanto, o valor é 2 × 2 = 4 unidades quadradas.

Passo 2

O fluxo através da face do cubo que faz parte do plano x = - 1 . Assim,

∬ E . d S = ∬ E . n d S

onde n é um vetor normal à superfície. Portanto, n = - i .

∬ E . d S = ∬ x i + y j + z k . ( - i ) d S

∬ E . d S = ∬ - x d S

Note que para todos os pontos, x = - 1 .

∬ E . d S = ∬ d S

Essa integral acaba sendo a área da face do cubo! Portanto, o valor é 2 × 2 = 4 unidades quadradas.

Passo 3

A gente pode observar que ambas a superfície e E são simétricas em termos de x ,   y   e z . Portanto, o fluxo que atravessa as outras quatro faces do cubo também serão iguais a 4 unidades quadradas. Logo, o fluxo total através do cubo é

∬ E . d S = 4 × 6 = 24

Assim, a carga dentro da superfície é

Q = ϵ o ∬ E . d S = 24 ϵ o

Resposta

A carga é igual a:

Q = ϵ o ∬ E . d S = 24 ϵ o

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