Enunciado

A água do mar tem densidade 1025   k g / m 3 e escoa com velocidade v = y i + x j , onde x , y   e   z são medidas em metros e as componentes de v em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,   z ≥ 0 .

Passo 1

Galera, quando tratamos de vazões, se soubermos o valor da densidade em qualquer ponto e a velocidade nesse mesmo ponto, a taxa de vazão da substância através de uma superfície S pode ser dada por:

∬ F . d S

onde F = ρ x , y , z v ( x , y , z ) e S é orientada positivamente.

Nessa questão, a densidade da água do mar é ρ = 1025   k g / m 3 e a velocidade de escoamento é v = y i + x j . Portanto,

F = 1025 ( y i + x j )

Passo 2

Parametrizando a superfície:

S : r u , v = 3 sen ⁡ v cos ⁡ u i + 3 sen ⁡ v sen ⁡ u j + 3 cos ⁡ v k

onde u ∈ [ 0,2 π ) e como z ≥ 0 , v ∈ 0 , π 2 . Logo,

F r u , v = 1025 3 sen ⁡ v sen ⁡ u i + 3 sen ⁡ v cos ⁡ u j

Notemos que

∬ F . d S = ∬ F . n d S

onde n é o vetor unitário normal e d S = r u × r v d A . O fluxo através da superfície é definido somente se a superfície for orientável. Note que se a superfície é orientável, terão dois vetores normais em todos os pontos. Podemos escrever:

d S = n d A = ± r u × r v r u × r v   r u × r v d A = ± r u × r v d A

Vamos calcular as derivadas parciais de r !

r u = - 3 sen ⁡ v sen ⁡ u i + 3 sen ⁡ v cos ⁡ u j

r v = 3 cos ⁡ v cos ⁡ u i + 3 cos ⁡ v sen ⁡ u j - 3 sen ⁡ v k

r u × r v = i j k - 3 sen ⁡ v sen ⁡ u 3 sen ⁡ v cos ⁡ u 0 3 cos ⁡ v cos ⁡ u 3 cos ⁡ v sen ⁡ u - 3 sen ⁡ v

r u × r v = - 9 sen 2 ⁡ v cos ⁡ u i - 9 sen 2 ⁡ v sen ⁡ u - 9 sen ⁡ v cos ⁡ v k

d S = - r u × r v d A = 3 sen ⁡ v 3 sen ⁡ v cos ⁡ u i + 3 sen ⁡ v sen ⁡ u j + 3 cos ⁡ v k d A

Passo 3

Resolvendo a integral, temos:

∬ F . d S = 3075 ∬ 2 sin 3 ⁡ v sin ⁡ u cos ⁡ u d A

∬ F . d S = 3075 ∬ sin 3 ⁡ v sin ⁡ 2 u d A

Note que u ∈ ( 0,2 π ) e v ∈ 0 , π 2 .

∬ F . d S = 3075 ∫ 0 2 π sin ⁡ 2 u d u ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ v d v

∬ F . d S = 3075 - cos ⁡ 2 u 2 0 2 π ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ v d v

∬ F . d S = 3075 0 ∫ 0 π 2 sin 3 ⁡ v d v = 0

Resposta

A taxa de vazão é igual a:

V a z ã o = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o valor exato de ∬ S x 2 y zd S , onde S é a superfície z = x y , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 .
30- Determine o valor exato de ∫ ∫ S x 2 y zd S , onde S é a superfície do Exercício 29
31- Determine o valor de ∫ ∫ S x 2 y 2 z 2d S correto até a quarta casa decimal, onde S é a parte do parabolóide z = 3 - 2 x 2 - y 2 que está acima do plano x y .
32- Determine o fluxo de F x , y , x = s e n x y z i + x 2 y j + z 2 e x 5 k através da parte do cilindro 4 y 2 + z 2 = 4 que está acima do plano x y e entre os planos x = - 2 e x = 2 com orientação p
29- Calcule ∫ ∫ S x y zd S preciso até a quarta casa decimal, onde S é a superfície z = x y ,0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1