Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 44
A água do mar tem densidade e escoa com velocidade , onde são medidas em metros e as componentes de em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do hemisfério
Passo 1
Galera, quando tratamos de vazões, se soubermos o valor da densidade em qualquer ponto e a velocidade nesse mesmo ponto, a taxa de vazão da substância através de uma superfície pode ser dada por:
onde e é orientada positivamente.
Nessa questão, a densidade da água do mar é e a velocidade de escoamento é . Portanto,
Passo 2
Parametrizando a superfície:
onde e como , . Logo,
Notemos que
onde é o vetor unitário normal e . O fluxo através da superfície é definido somente se a superfície for orientável. Note que se a superfície é orientável, terão dois vetores normais em todos os pontos. Podemos escrever:
Vamos calcular as derivadas parciais de !
Passo 3
Resolvendo a integral, temos:
Note que e .
Resposta
A taxa de vazão é igual a: