Enunciado

40- Um fluido com densidade 1500 e campo de velocidade v = - y i + x j + 2 z   k . Determine a taxa de vazão do fluido saindo da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 .

Passo 1

Assim como na questão anterior temos que a vazão será calculada por:

Q = ∫ ∫ D ρ v   d A

Só que como o sólido dessa figura é uma esfera então o melhor a se utilizar nessa questão são as coordenadas esféricas, o que nos dá parâmetros iguais a:

r = 25 = 5

Podemos tratar r como constante igual a 5, já que é uma esfera mesmo.

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

A região parametrizada da esfera em coordenadas esféricas será:

r ϕ , θ = 5 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 5 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ j + 5 cos ⁡ ϕ k

E o jacobiano dessa esfera é:

r ϕ × r θ = i j k 5 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ   5 cos ⁡ ϕ   sin ⁡ θ - 5 sin ⁡ ϕ - 5 sin ⁡ ϕ   sin ⁡ θ 5 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 0

Fazendo o determinante disso temos:

r ϕ × r θ = 25 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 25 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j

+ 25 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 25 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ k

O que é a mesma coisa que:

r ϕ × r θ = 25 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 25 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ j + ( 25 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ )   k

Passo 2

Dessa forma a fórmula da vazão será:

∫ 0 π ∫ 0 2 π 1500 - r s i n   ϕ sin ⁡ θ , r s i n   ϕ cos ⁡ θ , 2 25 - ( 5 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ) 2 - 5 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2

25 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 25 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 25 sin ⁡ ϕ c o s ϕ   d θ d ϕ

1500 ∫ 0 π ∫ 0 2 π - 5 s i n   ϕ sin ⁡ θ , 5 s i n   ϕ cos ⁡ θ , 2 25 - 25 sin 2 ⁡ ϕ .

25 sin 2 ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 25 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 25 sin ⁡ ϕ c o s ϕ   d θ d ϕ

1500 ∫ 0 π ∫ 0 2 π - 125 sin 3 ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 125 sin 3 ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ θ + 50 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 25 - 25 sin 2 ⁡ ϕ   d θ   d ϕ

1500 ∫ 0 π ∫ 0 2 π 250 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ   1 - sin 2 ⁡ ϕ d θ d ϕ

1500 ∫ 0 π ∫ 0 2 π 250 sin ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ   d θ d ϕ

Passo 3

Resolvendo essa integral nós teremos:

1500 × 2 π ∫ 0 2 π 250 sin ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ   d ϕ

Aplicando a substituição:

u = cos ⁡ ϕ

d u = - sin ⁡ ϕ

∫ - 250   u 2 d u = - 250 × u 3 3

Voltando para o domínio de ϕ temos:

3000 π - 250 cos ⁡ ϕ 3 0 π = 3000 π 3 × - 250 cos ⁡ π - cos ⁡ 0 = 1000 π × - 250 × - 2 = 500000 π

Resposta

Q = 500000 π

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