Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 40
40- Um fluido com densidade e campo de velocidade . Determine a taxa de vazão do fluido saindo da esfera .
Passo 1
Assim como na questão anterior temos que a vazão será calculada por:
Só que como o sólido dessa figura é uma esfera então o melhor a se utilizar nessa questão são as coordenadas esféricas, o que nos dá parâmetros iguais a:
Podemos tratar como constante igual a 5, já que é uma esfera mesmo.
A região parametrizada da esfera em coordenadas esféricas será:
E o jacobiano dessa esfera é:
Fazendo o determinante disso temos:
O que é a mesma coisa que:
Passo 2
Dessa forma a fórmula da vazão será:
Passo 3
Resolvendo essa integral nós teremos:
Aplicando a substituição:
Voltando para o domínio de temos:
Resposta
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