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A temperatura em um ponto x , y de uma chapa de metal é dada por T x , y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto ( 2,1 ) em (a) na direção x e ( b ) na direção y

Passo 1

Dada a função: T x , y = 60 1 + x ² + y ² , temos de obter T x e T y no ponto P ( 2,1 )

T x →   Derivamos a função em relação a x, considerando y um valor constante.

T y →   Derivamos a função em relação a y, considerando x um valor constante.

Passo 2

  • T x =   - 60 1 + x 2 + y 2 2 .   2 x = - 120 x 1 + x 2 + y 2 2
  • T x ( 2,1 ) = - 120 ⋅ 2 1 + 2 2 + 1 ² 2 = - 24 0 36 = 6 , 67   ° C / m

  • T y = - 60 1 + x 2 + y 2 2 .   2 y = - 120 y 1 + x 2 + y 2 2

T y ( 2,1 ) = - 120 ⋅ 1 1 + 2 2 + 1 ² 2 = - 120 36 = 3 , 33   ° C / m

Resposta

T x ( 2,1 ) = 6,67   ° C / m

T y ( 2,1 ) = 3,33   ° C / m

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