Enunciado

A temperatura em um ponto x , y de uma chapa de metal é dada por T x , y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto ( 2,1 ) em (a) na direção x e ( b ) na direção y

Passo 1

Dada a função: T x , y = 60 1 + x ² + y ² , temos de obter T x e T y no ponto P ( 2,1 )

T x →   Derivamos a função em relação a x, considerando y um valor constante.

T y →   Derivamos a função em relação a y, considerando x um valor constante.

Passo 2

  • T x =   - 60 1 + x 2 + y 2 2 .   2 x = - 120 x 1 + x 2 + y 2 2
  • T x ( 2,1 ) = - 120 ⋅ 2 1 + 2 2 + 1 ² 2 = - 24 0 36 = 6 , 67   ° C / m

  • T y = - 60 1 + x 2 + y 2 2 .   2 y = - 120 y 1 + x 2 + y 2 2

T y ( 2,1 ) = - 120 ⋅ 1 1 + 2 2 + 1 ² 2 = - 120 36 = 3 , 33   ° C / m

Resposta

T x ( 2,1 ) = 6,67   ° C / m

T y ( 2,1 ) = 3,33   ° C / m

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Seja f defninda em R 2 , diferenciável em ( 0,0 ) e tal que f t x , t y = t f ( x , y ) para todo t ∈ R e todo x , y ∈ R 2 . Prove que f é linear, isto é, que existem reais a e b tais que f x , y = a
Expresse d z d t em termos das derivadas parciais de f, sendo z = f x , y ea) x = t 2ey = 3 t .
Seja g t = f 3 t , 2 t 2 - 1 . a) Expresse g ' t em termos das derivadas parciais de f.b) Calcule g ' t admitindo ∂ f ∂ x 0 , - 1 = 1 3 .
Admita que, para todo x , y . x ∂ f ∂ x x , y - y ∂ f ∂ y x , y = 0 . Mostre que g t = f t , 2 t ,t0 , é constante.
Admita que, para todo ( x , y ) , 4 y ∂ f ∂ x x , y - x ∂ f ∂ y x , y = 2 . Calculeg ' t , sendo g t = f 2 c o s t , s e n t .