Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma. ∑ n = 2 ∞ 1 n 3 + n

Passo 1

Neste exercício temos que tentar perceber a melhor forma de resumirmos nosso denominador em 3 produtos onde o grau de n seja 1 . Outra coisa que ir

Passo 2

Vamos observar o denominador

n 3 + n = n n 2 + 1 = n ( n + i ) ( n - i )

Onde i é um numero irracional.

Entretanto não é possível resolver por série telescopia usando essa série. Uma suposição é que a série a ser resolvida seria

∑ n = 2 ∞ 1 n 3 - n

Neste caso podemos fazer

n 3 - n = n n 2 - 1 = n n + 1 n - 1

E neste ponto podemos fazer que

∑ n = 2 ∞ 1 n 3 - n = ∑ n = 2 ∞ 1 n n + 1 n - 1

Passo 3

Agora vamos usar frações parciais para fazer a seguinte suposição

1 n n + 1 n - 1 = A n + B n + 1 + C n - 1 = n + 1 n - 1 A + n n - 1 B + n n + 1 C n ( n - 1 ) ( n + 1 )

Assim teremos que

n 2 A + B + C + n C - B - A = 1

Onde teremos que

A = - 1 ; B = 1 2 ; C = 1 2

Assim nossa série se resume em

∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 2 n + 1 + 1 2 n - 1

Abrindo nossa série ficaremos com

s n = - 1 2 + 1 6 + 1 2 + - 1 3 + 1 8 + 1 4 + - 1 4 + 1 10 + 1 6 + - 1 5 + 1 12 + 1 8 + …

Eu sei que pode ser difícil perceber, mas note: o segundo termo do primeiro parêntese mais o primeiro termo do segundo parêntese é igual ao terceiro termo do terceiro parêntese. Teremos que isso sempre irá se repetir, logo todos esses termos serão anulados sobrando apenas

s n = - 1 2 + 1 2 + 1 4 = 1 4

Resposta

s n = 1 4

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