Enunciado

75. A temperatura T ( º F ) de um quarto no instante t minutos é dada por

T = 85 - 3 25 - t         p a r a         0 ≤ t ≤ 25 .

a. Determine a temperatura do quarto quando t = 0 , t = 16 e t = 25 .

b. Determine a temperatura média do quarto para 0 < t < 25 .

Passo 1

a.

Facinho de resolver a letra (a), apenas precisamos substituir t na fórmula:

Para t = 0 :

T 0 = 85 - 3 25 - 0

T 0 = 85 - 3 5

T 0 = 85 - 15

T 0 = 70   º F

Para t = 16 :

T 16 = 85 - 3 25 - 16

T 16 = 85 - 3 9

T 16 = 85 - 3 3

T 16 = 85 - 9

T 16 = 7 6   º F

E para t = 25

T 25 = 85 - 3 25 - 25

T 25 = 85 - 3 0

T 25 = 85 º   F

Passo 2

b.

A temperatura média é igual a área sob a curva da função y dividida pelo tamanho da base. Então vamos integrar a função de 0 até 25 e dividí-la por 25 - 0 = 25 .

T m = 1 25 ∫ 0 25 85 - 3 25 - t d t

Observer que se derivarmos 2 25 - t 3 / 2 , vamos obter - 3 25 - t 1 / 2 , logo, a integral fica:

T m = 1 25 85 t + 2 25 - t 3 2 0 25

T m = 1 25 85 25 + 2 25 - 25 3 2 - 1 25 85 0 + 2 25 - 0 3 2

T m = 2125 25 - 250 25

T m = 85 - 10

T m = 7 5 º   F

Então a temperatura média nesse intervalo de tempo é de 75 º   F .

Resposta

a.

Para t = 0 : T 0 = 70   º F

Para t = 16 : T 16 = 76   º F

E para t = 25 : T 25 = 85 º   F

b.

T m = 7 5 º   F

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