Enunciado

Tente esboçar à mão a curva obtida pela intersecção do cilindro circular x 2 + y 2 = 4 com o cilindro parabólico z = x 2 . Determine então as equações paramétricas dessa curva e utilize um computador para desenhá-la.

Passo 1

Beleza, galera? Primeiro, vamos tentar determinar as equações paramétricas da curva. Se estamos falando de intersecção, então devemos achar equações paramétricas que possam satisfazer as equações das duas superfícies. Vamos começar com o cilindro circular:

x 2 + y 2 = 4

Uma boa parametrização pra esse cilindro é:

x = 2 cos ⁡ t   ,           y = 2   s e n   t

Agora, para o cilindro parabólico, devemos ter:

z = x 2 = 2 cos ⁡ t 2 = 4 cos 2 ⁡ t

Então, as equações paramétricas da curva de intersecção serão:

x = 2 cos ⁡ t   ,           y = 2   s e n   t   ,           z = 4 cos 2 ⁡ t

Passo 2

Agora, vamos utilizar um computador pra desenhar as duas superfícies e termos uma ideia de como é a curva de intersecção entre elas:

E utilizando as equações paramétricas já encontradas, vamos efetivamente desenhar a curva, beleza?

Resposta

x = 2 cos ⁡ t   ,           y = 2   s e n   t   ,           z = 4 cos 2 ⁡ t

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Encontre três diferentes superfícies que contém a curva: r → t = t 2 i → + ln ⁡ t j → + ( 1 / t ) k → .
Use um computador para esboçar o gráfico da curva com a equação vetorial dada. Certifique-se de escolher um parâmetro para o domínio e pontos que revelem a verdadeira natureza da curva.
Use um computador para esboçar o gráfico da curva com a equação vetorial dada. Certifique-se de escolher um parâmetro para o domínio e pontos que revelem a verdadeira natureza da curva.
Encontre três diferentes superfícies que contém a curva: r → t = 2 t i → + e t j → + e 2 t k → .
Esboce a curva com as equações paramétricas dadas e mostre que ela fica sob um hiperbolóide de uma folha com equação 144 x 2 + 144 y 2 - 25 z 2 = 100