Enunciado

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Teste a convergência ou divergência da série:

∑ n = 0 ∞ n ! 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ( 3 n + 2 )

Passo 1

Galera, não sei porque o livro do Stewart coloca essas questões desse jeito.

Coloca uma expressão feia pra gente resolver....Mas tranquilinha de se resolver. Coloca só pra assutar.

Aquele fatorial e aquela sequência de produtos no denominador só nos mostra que devemos aplicar o Teste da Razão. Então, vamos lá...

Passo 2

Pelo Teste da Razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ( 3 ( n + 1 ) + 2 ) n ! 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ( 3 n + 2 ) = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 1 + 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 n !

Tá vendo só? Aqueles produtos todos vão logo se cortar.

MAAAS, devemos prestar bastante atenção aqui! O denominador do termo genérico a n é dado por 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 . Até aí tudo bem....Quando avaliamos o temo seguinte, o a n + 1 , vemos que o seu denominador “irá crescer em um termo” dado por 3 n + 1 + 2 . Ou seja:

2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 ⏟ d e n o m i n a d o r   d o   t e r m o   a n →     p r ó x i m o   t e r m o   d a   s é r i e     2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 ⏟ d e n o m i n a d o r   d o   t e r m o   a n ∙ 3 n + 1 + 2 ⏟ p a r c e l a   d o   t e r m o   a n + 1

E abrindo aquele fatorial que está no numerador, já ficamos a um passo de terminar. Vamos logo para esse passo, então?

Passo 3

lim n → ∞ ⁡ n + 1 ∙ n ! 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 3 n + 1 + 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 3 n + 2 n ! = lim n → ∞ ⁡ n + 1 3 n + 5 = 1 3

Show de bola! Como o resultado do nosso limite lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 3 < 1 , chegamos à conclusão de que a nossa integral converge!

Resposta

∑ n = 0 ∞ n ! 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ( 3 n + 2 )   é convergente

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