Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 0)^(oo) (n !)/(2 * 5 * 8 * * * * * ( 3 n + 2 ))

Passo 1

Galera, não sei porque o livro do Stewart coloca essas questões desse jeito.

Coloca uma expressão feia pra gente resolver....Mas tranquilinha de se resolver. Coloca só pra assutar.

Aquele fatorial e aquela sequência de produtos no denominador só nos mostra que devemos aplicar o Teste da Razão. Então, vamos lá...

Passo 2

Pelo Teste da Razão

underset(n -> oo)(lim) (a_n + 1)/(a_n) = underset(n -> oo)(lim) ((( n + 1 ) !)/(2 * 5 * 8 * * * * * ( 3 ( n + 1 ) + 2 )))/((n !)/(2 * 5 * 8 * * * * * ( 3 n + 2 ))) = underset(n -> oo)(lim) (((n + 1) !)/(2 * 5 * 8 * * * * * (3 (n + 1) + 2)) * (2 * 5 * 8 * * * * * (3 n + 2))/(n !))

Tá vendo só? Aqueles produtos todos vão logo se cortar.

MAAAS, devemos prestar bastante atenção aqui! O denominador do termo genérico a_n é dado por 2 * 5 * 8 * * * * * (3 n + 2) . Até aí tudo bem....Quando avaliamos o temo seguinte, o a_n + 1 , vemos que o seu denominador “irá crescer em um termo” dado por 3 (n + 1) + 2 . Ou seja:

underset(d e n o m i n a d o r d o t e r m o a_n)(ubrace 2 * 5 * 8 * * * * * (3 n + 2)) underset(p r ó x i m o t e r m o d a s é r i e)(->) underset(d e n o m i n a d o r d o t e r m o a_n)(ubrace 2 * 5 * 8 * * * * * (3 n + 2)) * underset(p a r c e l a d o t e r m o a_n + 1)(ubrace (3 (n + 1) + 2))

E abrindo aquele fatorial que está no numerador, já ficamos a um passo de terminar. Vamos logo para esse passo, então?

Passo 3

underset(n -> oo)(lim) (((n + 1) * n !)/(2 * 5 * 8 * * * * * (3 n + 2) (3 (n + 1) + 2)) * (2 * 5 * 8 * * * * * (3 n + 2))/(n !)) = underset(n -> oo)(lim) ((n + 1)/(3 n + 5)) = (1)/(3)

Show de bola! Como o resultado do nosso limite underset(n -> oo)(lim) (a_n + 1)/(a_n) = (1)/(3) < 1 , chegamos à conclusão de que a nossa integral converge!

Resposta

sum_(n = 0)^(oo) (n !)/(2 * 5 * 8 * * * * * ( 3 n + 2 )) é convergente

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