Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) (sen 2 n)/(1 + 2^n)

Passo 1

Esses casos envolvendo funções trigonométricas são sempre complicadinhos de definir qual teste usar, né?

O que complica, nesses casos, é que as funções trigonométricas são limitadas entre - 1 e 1 e, assim, fica meio complicado de pensar em séries alternadas ou séries com termos estritamente positivos.

Pra fugir dessa “sinuca”, vamos usar 2 artifícios: vamos mesclar o critério da convergência absoluta com o “Teste da Comparação”.

Passo 2

Sabemos que - 1 <= sen 2 n <= 1 , certo? O que nos leva a - (1)/(1 + 2^n) <= (sen 2 n)/(1 + 2^n) <= (1)/(1 + 2^n) , belezinha? Ou seja, nosso termo a_n oscila entre números positivos e negativos.

Se lidarmos com o módulo de a_n , ou seja, |a_n| e testarmos a série sum_(n = 1)^(oo) |a_n| , estaremos testando a convergência absoluta da nossa série original. Além do mais, teremos também que

0 <= |sen 2 n| <= 1 :. 0<=(|sen 2 n|)/(1 + 2^n)<=(1)/(1 + 2^n)

E é aí que está o pulo do gato! Como |a_n| é sempre um número positivo, poderemos usar o “Teste da Comparação” sem problemas!

Então, assumindo que vamos testar a convergência da série

sum_(n = 1)^(oo) |a_n| = sum_(n = 1)^(oo) |(sen 2 n)/(1 + 2^n)|

Vamos aplicar o “Teste da Comparação”.

Passo 3

Vamos tomar a seguinte série

sum_(n = 1)^(oo) b_n = sum_(n = 1)^(oo) (1)/(1 + 2^n)

Essa série converge ou diverge? Rapidamente pelo Teste da Comparação conferimos que a série sum_(n = 1)^(oo) b_n converge, pois

b_n = (1)/(1 + 2^n) < (1)/(2^n) :. sum_(n = 1)^(oo) (1)/(1 + 2^n) < underset(S é r i e g e o m é t r i c a)(ubrace sum_(n = 1)^(oo) (1)/(2^n) = 1)

Como sabemos que

(|sen 2 n|)/(1 + 2^n) <= (1)/(1 + 2^n)

Então,

sum_(n = 1)^(oo) (|sen 2 n|)/(1 + 2^n) < underset(S é r i e c o n v e r g e n t e)(ubrace sum_(n = 1)^(oo) (1)/(1 + 2^n))

Passo 4

Assim, pelo Teste da Comparação, chegamos à conclusão de que a série sum_(n = 1)^(oo) (|sen 2 n|)/(1 + 2^n) é convergente!

Isso nos leva à conclusão de que a nossa série original sum_(n = 1)^(oo) (sen 2 n)/(1 + 2^n) é absolutamente convergente!

Por último, por ser absolutamente convergente, chegamos à conclusão de que a série sum_(n = 1)^(oo) (sen 2 n)/(1 + 2^n) é, portanto, convergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) (sen 2 n)/(1 + 2^n) é convergente

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