Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n sqrt(ln n))

Passo 1

Esse é um típico caso de série em que devemos aplicar o Teste da Integral. Por quê? Porque é uma função que é relativamente tranquila de se buscar um cálculo de integral e que não nos oferece nenhum “algebrismo louco” que facilite a aplicação de outros testes.

Então...Partiu integrar?

Passo 2

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n sqrt(ln n)) underset(T e s t e d a I n t e g r a l)(->) int_2^(oo) (1)/(x sqrt(ln x)) d x = underset(t -> oo)(lim) (int_2^t (1)/(x sqrt(ln x)) d x)

Para resolver aquela integral ali em cima, vamos considerar que u = ln x , ou seja, d u = d x // x . Aplicando essa substituição, temos que:

int (1)/(x sqrt(ln x)) d x = int (1)/(sqrt(u)) d u = 2 sqrt(u) :. 2 sqrt(ln x)

Retornando ao limite com a integral:

underset(t -> oo)(lim) (int_2^t (1)/(x sqrt(ln x)) d x) = underset(t -> oo)(lim) [(2 sqrt(ln x)) (t)/(2)] = underset(t -> oo)(lim) (2 sqrt(ln t) - 2 sqrt(ln 2)) = oo

Passo 3

Opa! Chegamos à conclusão de que a nossa integral diverge! Portanto, pelo “Teste da Integral”, a nossa série é divergente!

Resposta

sum_(n = 2)^(oo) (1)/(n sqrt(ln n)) é divergente

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