Enunciado

Teste a convergência ou divergência da série:

sum_(n = 1)^(oo) sen n

Passo 1

Esta parece ser uma série aparentemente simples de se calcular, né? Afinal de contas, só tem uma funçãozinha seno ali no enunciado.

Bom....Sabemos que a função seno terá sempre um valor entre - 1 e 1 , ou seja:

- 1 <= sen x <= 1

Beleza. Já lembramos que o seno é um daqueles casos que podemos chamar de função limitada. Até aí tudo bem....Vamos relembrar como se calcula o limite desta função quando x tende a infinito? Como é mesmo?

underset(x -> oo)(lim) sen x = ??

Xiii....complicou? Então, galera, não conseguimos definir um valor limite para o qual a função seno tenha tendência quando x tende ao infinito. Ou seja, esse limite não existe! Vamos nos aproveitar disso usando o Teste da Divergência.

Passo 2

Segundo o Teste da Divergência, para uma série sum_(n = 1)^(oo) a_n , se underset(n -> oo)(lim) a_n != 0 ou se underset(n -> oo)(lim) a_n = ∄ , chegamos à conclusão de que a série é divergente.

Olhando para o nosso caso, já vimos que underset(x -> oo)(lim) sen x = ∄ . Ou seja, a nossa série sum_(n = 1)^(oo) sen n é divergente!

Resposta

sum_(n = 1)^(oo) sen n é divergente

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