Enunciado

Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente, ou divergente.

36. ∑ n = 1 ∞ s e n n π 6 1 + n n

Passo 1

Como temos uma razão na sequência da nossa serie, vamos tentar usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L > 1 , a série é divergente, se L < 1 , é absolutamente convergente, e se L = 1 o teste não diz nada pra gente.

Na nossa série ele fica:

L = lim n → ∞ ⁡ s e n ( n + 1 ) π 6 1 + ( n + 1 ) n + 1 s e n n π 6 1 + n n = l i m n → ∞ s e n ( n + 1 ) π 6 1 + ( n + 1 ) n + 1   1 + n n s e n n π 6

Passo 2

Bom, se a gente olhar as funções seno que estão no denominador, podemos ver que n multiplica π / 6 , fazendo com que a função seno alterne entre sinal negativo e positivo do mesmo resultado:

s e n π 6 = 1 2

Mas como temos o módulo, todos esses valores são positivos, ou seja, todos vão ser a mesma coisa:

s e n ( n + 1 ) π 6 = s e n n π 6 = s e n π 6 = 1 2

Então tirando do módulo, ficamos com:

L = l i m n → ∞ 1 / 2 1 + ( n + 1 ) n + 1   1 + n n 1 / 2

Simplificando:

L = l i m n → ∞ 1 + n n 1 + ( n + 1 ) n + 1  

Passo 3

Se tentarmos aplicar o limite agora, vai acontecer uma indeterminação, vamos colocar n em evidência para a gente contornar isso:

L = l i m n → ∞ 1 + n n 2 1 n 1 + n 1 + 1 n n 2 1 n + 1 n 2 = l i m n → ∞ 1 + n 2 1 n 1 + n 1 + 1 n n 1 n + 1 n 2

L = l i m n → ∞ 1 + n 2 1 n 1 + n 2 1 + 1 n 1 n + 1 n 2

L = l i m n → ∞ n 2 1 n 2 + 1 n n 2 1 n 2 + 1 + 1 n 1 n + 1 n 2

E aí simplificamos:

L = l i m n → ∞ 1 n 2 + 1 n 1 n 2 + 1 + 1 n 1 n + 1 n 2

Passo 4

Agora sim podemos aplicar o limite, o denominador tende para zero, e o numerador para 1:

L = 0 1 = 0

E como L < 1 , a série é absolutamente convergente.

Resposta

A b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e

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