Enunciado

∫ 0 2 π ∫ 0 θ 2 π ∫ 0 3 + 24 r 2 d z   r   d r   d θ

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 θ 2 π ∫ 0 3 + 24 r 2 r   d z   d r   d θ

Passo 2

∫ 0 2 π ∫ 0 θ 2 π r z 0 3 + 24 r 2 d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 θ 2 π r 3 + 24 r 2 d r   d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 θ 2 π 3 r + 2 r 4 3 d r   d θ

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ 0 2 π ( 3 ∫ 0 θ 2 π r   d r + 24 ∫ 0 θ 2 π r 3   d r )   d θ

∫ 0 2 π ( 3 2 r 2 0 θ 2 π + 6 r 4 0 θ 2 π )   d θ

∫ 0 2 π 3 θ 2 8 π 2 1 + θ π   2 d θ

3 8 π 2 ∫ 0 2 π θ 2 1 + θ 2 π 2 d θ

3 8 π 2 ∫ 0 2 π ( θ 2 + θ 4 π 2 )   d θ

Passo 3

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

3 8 π 2 ( ∫ 0 2 π θ 2   d θ + 1 π 2 ∫ 0 2 π θ 4   d θ )  

3 8 π 2 1 3 θ 3 0 2 π + 1 5 π 2 θ 5 0 2 π

17 π 5

Resposta

17 π 5

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