∫ - 1 1 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ 4 r   d r   d θ   d z  

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Então vamos lá, sobre as técnicas, eu vou somente comentá-las sem provar (pode ficar à seu cargo, amigo, prova-las. Economizarei aqui para tomar espaço)

Dito isso, temos:

∫ - 1 1 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ 4 r   d r   d θ   d z  

Passo 2

∫ - 1 1 ∫ 0 2 π ( 2 r 2 0 1 + cos ⁡ θ d θ   d z

∫ - 1 1 ∫ 0 2 π 2 ( 1 + cos 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ )   d θ   d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ - 1 1 ( 2 ∫ 0 2 π d θ + 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ   d θ + 4   ∫ 0 2 π cos ⁡ θ   d θ )   d z

Passo 3

Sabemos qu cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ . Logo:

∫ - 1 1 (   2 θ 0 2 π + 2 ∫ 0 2 π 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ + 4 s e n θ 0 2 π )   d z

Usando da propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais

∫ - 1 1 ( 4 π + ∫ 0 2 π d θ + ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ   d θ )   d z

Sabemos que: c o s ∫ ⁡ a x = 1 a s e n a x + C . Assim:

∫ - 1 1 4 π + θ 0 2 π + s e n 2 θ 0 2 π d z

∫ - 1 1 4 π + 2 π d z

6 π ∫ - 1 1 d z

6 π z 0 2 π

12 π

Resposta

12 π

Exercícios de Livros Relacionados