Enunciado

Utilize coordenadas cilíndricas.

  1. Ache o volume da região E limitada pelo paraboloide z = 24 - x 2 - y 2 e o cone z = 2 x 2 + y 2 .
  2. Encontre o centroide do E (centro de massa no caso em que a densidade é constante).

Passo 1

  1. O paraboloide e o cone se intersectam em:
  2. Como quem estará por cima é o paraboloide, temos que z varia do cone até o paraboloide:

    2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 24 - x 2 - y 2

    Então, até agora, temos:

    ∬ D ∫ 2 x 2 + y 2 24 - x 2 - y 2 d z d A

    Para saber que região D é essa, precisamos igualar os z ’s:

    24 - x 2 - y 2 = 2 x 2 + y 2

    24 - ( x 2 + y 2 ) = 2 x 2 + y 2

    Fazendo a mudança de coordenadas x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n ⁡ ( θ ) e z = z :

    24 - ( r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2   s e n 2 ⁡ ( θ ) ) = 2 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2   s e n 2 ⁡ ( θ )

    24 - r 2 = 2 r 2

    24 - r 2 = 2 r

    r 2 + 2 r - 24 = 0

    Resolvendo essa equação:

    r 1 = 4

    r 2 = - 6

    Mas não temos valores negativos para r . Então, a região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:

    E = r , θ , z |   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ r ≤ 4 ,   2 r ≤ z ≤ 24 - r 2

    Passo 2

    Vamos calcular a integral:

    V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 ∫ 2 r 24 - r 2 r d z d r d θ

    V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r z 2 r 24 - r 2 d r d θ

    V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r ( 24 - r 2 - 2 r ) d r d θ

    V = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 24 r - r 3 - 2 r 2 d r d θ

    V = ∫ 0 2 π   d θ ∫ 0 4 24 r - r 3 - 2 r 2 d r

    V = θ 0 2 π 1 2 r 2 - r 4 4 - 2 r 3 3 0 4

    V = 2 π ∙ 256 3 = 512 π 3

    Passo 3

  3. Para a densidade constante K , temos m = K V = 512 π 3 K pela letra (a), e como a região é homogênea e simétrica temos:

M y z = M x z = 0

M x y = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 ∫ 2 r 24 - r 2 z K r d z d r d θ

M x y = K ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r z 2 2 2 r 24 - r 2 d r d θ

M x y = K 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r 24 - r 2 2 - 4 r 2 d r d θ

M x y = K 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r 576 - 48 r 2 + r 4 - 4 r 2 d r d θ

M x y = K 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 4 576 r - 52 r 3 + r 5 d r

M x y = K 2 θ 0 2 π 288 r 2 - 13 r 4 + r 6 6 0 4

M x y = K 2 2 π 5888 3 = 5888 3 π K

Temos então:

x , - y , - z - = M y z m , M x z m , M x y m

x , - y , - z - = 0,0 , 5888 3 π K 512 3 π K  

x , - y , - z - = 0,0 , 5888 512  

x , - y , - z - = 0,0 , 11.5  

Resposta

  1. V = 512 π 3
  2. x , - y , - z - = 0,0 , 11.5  
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Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas. ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x zd z d x d y
Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral. ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ
Calcule ∭ E z d V , onde E está acima do parabolóide z = x 2 + y 2 e abaixo do plano z = 2 y .
Use uma ferramenta gráfica para desenhar o sólido delimitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 5 - x 2 - y 2 .
Utilize coordenadas cilíndricas ara mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera r 2 + z 2 = a 2 , e por baixo pelo cone z = rc o t g ϕ 0 , onde 0ϕπ / 2 é V = 2 π a 3 3 ( 1 - cos ⁡ ϕ 0