Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 25
Utilize coordenadas cilíndricas.
- Ache o volume da região limitada pelo paraboloide e o cone .
- Encontre o centroide do (centro de massa no caso em que a densidade é constante).
Passo 1
- O paraboloide e o cone se intersectam em:
- Para a densidade constante , temos pela letra (a), e como a região é homogênea e simétrica temos:
Como quem estará por cima é o paraboloide, temos que varia do cone até o paraboloide:
Então, até agora, temos:
Para saber que região é essa, precisamos igualar os ’s:
Fazendo a mudança de coordenadas e :
Resolvendo essa equação:
Mas não temos valores negativos para . Então, a região de integração é dada por coordenadas cilíndricas:
Passo 2
Vamos calcular a integral:
Passo 3
Temos então:
Resposta
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Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas. ∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x zd z d x d y
Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral. ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 9 - r 2 r d z d r d θ
Calcule ∭ E z d V , onde E está acima do parabolóide z = x 2 + y 2 e abaixo do plano z = 2 y .
Use uma ferramenta gráfica para desenhar o sólido delimitado pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 5 - x 2 - y 2 .
Utilize coordenadas cilíndricas ara mostrar que o volume do sólido limitado por cima pela esfera r 2 + z 2 = a 2 , e por baixo pelo cone z = rc o t g ϕ 0 , onde 0ϕπ / 2 é V = 2 π a 3 3 ( 1 - cos ϕ 0