Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.4 - Ex. 14
Trace a curva e calcule a área delimitada por ela.
Passo 1
O gráfico de é:
Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de r são positivos.
Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornce extamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.
Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.
Passo 2
Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico. A linha que forma a fronteira do gráfico começa em e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo .
Passo 3
Aplicando os limites de integração e substituindo , obtemos:
Podemos usar a propriedade trigonométrica:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Encontre a área da região delimitada pela hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e pela reta vertical passando por um foco.
(a) Se uma elipse é girada em torno de seu eixo maior, encontre o volume do sólido resultante.(b) Se ela for girada em torno de seu eixo menor, encontre o volume resultante.
Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 definem x e y implicitamente como funções deriváveis x = ƒ(t), y = g(t), encontre o coeficiente angular da curva x = ƒ(t), y = g(t) no valor determinado
Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados. x = 2 3 t 3 / 2 ; y = 2 t ; 0 ≤ t ≤ 3 ; e i x oy
Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos Exercícios 31-34 em torno dos eixos indicados. x = t + 2 ; y = t 2 2 + t 2 ; - 2 ≤ t ≤ 2 ; e i x oy