Enunciado

Trace a curva e calcule a área delimitada por ela.

r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ

Passo 1

O gráfico de r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ é:

Lembrando que como estamos utilizando coordenadas polares os valores de r são positivos.

Quando calculamos a integral de uma curva, o resultado da integral fornce extamente a área da curva. Mas a curva deste problema é dada em coordenadas polares.

Vamos então integrar a fórmula para a área de uma região cuja fronteira é dada por uma equação polar.

A = ∫ 1 2 r 2 d θ

Passo 2

Os limites de integração podemos encontrar a partir do gráfico. A linha que forma a fronteira do gráfico começa em ( 5 ,   0 ) e da uma volta inteira, ou seja, percorreu um ângulo θ = 2 π   r a d .

Passo 3

Aplicando os limites de integração   0 ≤ θ ≤ 2 π e substituindo r = 3 - 2 cos ⁡ 4 θ , obtemos:

A = ∫ 0 2 π 1 2 ( 3 - 2   c o s   4 θ ) ² d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ( 9 - 12   c o s   4 θ + 4   c o s ² 4 θ )   d θ  

Podemos usar a propriedade trigonométrica: c o s 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

A = 1 2 ∫ 0 2 π [ 9 - 12   c o s   4 θ + 4 2 1 + cos ⁡ 8 θ ]   d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 11 - 12   c o s   4 θ + 2 cos ⁡ 8 θ   d θ

A = 1 2 ∙ 11 θ - 3   s e n   4 θ - 1 4 s e n   8 θ 0 2 π = 1 2 ∙ 11 ∙ 2 π - 0 - 0 - 0 - 24 - 0 = 11 π

Resposta

A = 11 π

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