Enunciado

Encontre os coeficientes angulares das curvas nos Exercícios 17-20 nos pontos determinados. Esboce as curvas com suas tangentes nesses pontos.

Cardioide r = - 1 + sen ⁡ θ ;     θ = 0 ,   π

Passo 1

Oi galerinha, vamos para mais um exercício juntos? Vem comigo!

O coeficiente angular de uma curva polar r = f θ no plano x y é dado ainda por d y / d x , que não é r ' = d f / d θ . Para saber por que, pense no gráfico de f como o das equações paramétricas:

x = r cos ⁡ θ = f θ cos ⁡ θ ,         y = r sen ⁡ θ = f θ sen ⁡ θ

Se f é uma função derivável de θ , então x e y também o são e, quando d x / d θ ≠ 0 , podemos calcular d y / d x a partir da fórmula paramétrica:

d y d x = d y / d θ d x / d θ

Além disso, já vimos que a transformação de coordenadas cartesianas em polares é:

Então com a equação r = - 1 + sen ⁡ θ , podemos escrever da seguinte forma:

x = - 1 + sen ⁡ θ cos ⁡ θ = - cos ⁡ θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ

y = - 1 + sen ⁡ θ sen ⁡ θ = - sen ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

Jogando na equação do coeficiente angular, teremos o seguinte:

d y d x = d d θ sen 2 ⁡ θ - sen ⁡ θ d d θ 1 2 sen ⁡ 2 θ - cos ⁡ θ = 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ

Passo 2

Sendo assim, para θ = 0 , temos:

d y d x θ = 0 = 2 sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 sen ⁡ 0 + cos ⁡ 2 ∙ 0 = 0 - 1 0 + 1 = - 1

Então o coeficiente angular em ( - 1 ,   0 ) é - 1 .

E para θ = π

d y d x θ = π = 2 sen ⁡ π - cos ⁡ π sen ⁡ π + cos ⁡ 2 π = 0 - ( - 1 ) 0 + 1 = 1

E o coeficiente angular em ( - 1 ,   π ) é 1 .

Passo 3

Utilizando o programa computacional WolframAlpha, e definindo as tangentes nesse gráfico, temos:

Até mais pessoal!

Resposta

O coeficiente angular em ( - 1 ,   0 ) é - 1 e em ( - 1 , -   π ) é 1 .

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