Enunciado

Um trem-bala de alta velocidade acelera e desacelera a uma taxa de 1,2 m/s² . Sua velocidade máxima é de 145 km/h.

(a) Qual será a distância máxima percorrida pelo trem se ele acelerar a partir do repouso até atingir a velocidade de cruzeiro e permanecer nessa velocidade por 15 minutos?

(b) Suponha que o trem comece a partir do repouso e então pare completamente em 15 minutos. Que distância máxima ele poderá percorrer nessas condições?

(c) Encontre o tempo mínimo para o trem viajar entre duas estações consecutivas, distantes   72 km uma da outra.

(d) A viagem de uma estação para outra leva 37,5 minutos. Qual a distância entre as estações?

Passo 1

  1. O primeiro passo é a gente transformar a velocidade que estão em km/h para m/s, para temos as duas variáveis na mesma medida, então:

v = 145 3,6 ≈ 40   m / s

Como v ' t = a t = 1,2   m / s ² , temos como primitiva:

v t = 1,2 t + C

Observe que v 0 = 0 = C , logo:

1,2 t = 40

t = 40 1,2

t ≈ 33   s

Com isso, sabemos que leva 33 segundos o trem atingir a velocidade de 40   m / s .

Uma vez que v t = s ' ( t ) , s é a primitiva de v , e em s 0 = 0 , temos:

s t = 0,6 t 2 ,   0 ≤ t ≤ 33

Fazendo s 33 :

s 33 = 0,6 33 2 = 653,4   m

Passo 2

  1. Encontramos a distância em 33 segundos, agora precisamos encontrar no resto do tempo:
  2. 15 60 = 900   segundos

    Portanto, para 33 < t ≤ 933 , com a velocidade de 40   m / s , temos:

    s 933 = 40 900 + 653,4

    s 933 = 36.653,4   m

    Passo 3

  3. Como na parte (a), o trem irá acelerar por 33 segundos, quando chegará na velocidade de 40   m / s , e similarmente, levará o mesmo tempo para desacelerar, tendo 66 segundos entre essas duas coisas. Mas agora, com um tempo total de 15 minutos, teremos um tempo restante de:
  4. 15 60 = 900 - 66 = 834   segundos

    Logo, a distância total viajada é:

    s 900 = 40 834 + 653,4

    s 900 = 34.013,4   m

    Passo 4

  5. Nós já sabemos que o trem leva 66 segundos para acelerar e desacelerar e assim percorre 2 653,4 = 1.306,8 , então subtraímos esse valor da distância total:
  6. 72.000 - 1306,4 = 70.693,6

    Agora, para encontrarmos o tempo, é só dividir a distância pela velocidade, então:

    t = 70.693,6 40 ≈ 1.767 s

    O tempo total é 1.767 + 66 = 1833   s = 30 m i n 3 3 s .

    Passo 5

  7. 37,6 60 = 2.250   s

2.250 - 66 = 2184   na velocidade máxima.

2184 40 + 2 653,4 = 88.666,8   m

Resposta

  1. 36.653,4   m
  2. 34.013,4   m
  3. 30 m i n 33 s
  4. 88.666,8   m
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Demonstre que y = x 2 + ∫ 1 x 1 td t resolve o problema de valor inicial d 2 y d x 2 = 2 - 1 x 2 ; y ´ 1 = 3 , y 1 = 1
Resolva o problema de valor inicial d y d x = 1 x 2 + 1; y ( 0 ) = 1